Um fio condutor estreito tem um outro fio condutor de comprimento e massa suspenso pelas duas molas iguais, cada uma com o coeficiente de Hooke (veja figura). Considere que os dois fios condutores estão a uma distância inicial , onde , sendo o comprimento da mola relaxada. Sem nenhuma corrente passando nos fios, a posição de equilíbrio é tal que .
Calcule a força magnética que o fio comprido faz no fio curto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois fios condutores suspensos por molas. Temos um fio curto de comprimento e massa , apoiado por duas molas com constante de Hooke . A distância inicial entre os fios é , onde é o comprimento das molas sem nenhuma força atuando. Quando não tem corrente passando nos fios, a posição de equilíbrio é dada por . Nosso objetivo aqui é calcular a força magnética que o fio longo exerce no fio curto. Vamos precisar entender um pouco sobre forças magnéticas entre fios e como elas interagem com as molas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a condição de equilíbrio sem corrente. A força gravitacional que age no fio curto é . Essa força é equilibrada pela força exercida pelas duas molas, que é . Então, temos:
Isso nos dá a relação entre o alongamento das molas e a massa do fio .

Passo 3

Agora, vamos considerar o que acontece quando há corrente passando nos fios. Correntes elétricas geram campos magnéticos, e quando duas correntes passam em fios paralelos, elas exercem forças magnéticas entre si. A força por unidade de comprimento entre dois fios paralelos com correntes e separados por uma distância é dada por:
Onde é a permeabilidade do vácuo.

Passo 4

Para encontrar a força total magnética que o fio longo exerce no fio curto, multiplicamos a força por unidade de comprimento pela extensão do fio curto :
Assumindo que as correntes nos fios são iguais, ou seja, , simplificamos para:

Passo 5

Agora, precisamos relacionar essa força magnética com o sistema de molas e a posição de equilíbrio. Quando a corrente está presente, a força magnética pode causar uma diferença no alongamento das molas. Se a força magnética for atraente, ela reduzirá a distância , ou seja, aumentará .
Então, a nova condição de equilíbrio considerando a força magnética fica:
Substituindo :

Passo 6

Mas neste exercício, o foco é calcular a força magnética . Então, isolando :
No estado sem corrente, temos . Portanto, se substituirmos, veremos que:
Isso indica que, para haver uma força magnética, deve haver uma corrente nos fios. Supondo que há uma corrente, a força magnética será calculada pela fórmula que derivamos anteriormente.

Resposta

A força magnética que o fio longo exerce no fio curto é:

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