Um fio condutor de raio desprezivel conduz uma corrente
e está envolvido por uma casca cilíndrica de raio
também condutora que conduz uma corrente de mesma magnitude
, mas de sentido oposto. Usando a Lei de Ampére, descreva o campo magnético (módulo, direção e sentido) nas regiöes: (a)
e
, onde
é a distância ao fio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um fio bem fininho que leva uma corrente elétrica
, e ao redor dele, uma casca cilíndrica de raio
que também leva uma corrente
, mas no sentido contrário. Nosso objetivo aqui é usar a Lei de Ampère para descobrir como fica o campo magnético nessas duas regiões: quando estamos mais perto do fio (
) e quando estamos mais longe (
). Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre a Lei de Ampère e como aplicá-la a situações com simetria cilíndrica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Lei de Ampère. Ela nos diz que a circulação do campo magnético
ao longo de um caminho fechado (chamado de caminho amperiano) é igual à permeabilidade do vácuo
multiplicada pela corrente total
que passa através desse caminho. Matematicamente, isso fica assim:
Aqui,
representa a integral do campo magnético ao redor do caminho fechado.
Passo 3
Vamos começar analisando a região onde
. Nesse caso, nosso caminho amperiano será um círculo de raio
centrado no fio. Por causa da simetria cilíndrica, o campo magnético
tem a mesma magnitude em todo o caminho e é sempre tangente ao círculo. Assim, a integral da Lei de Ampère fica simplificada:
Agora, precisamos determinar qual é a corrente encerrada
dentro desse caminho. Como a casca leva uma corrente
no sentido oposto ao do fio, e estamos considerando
, apenas o fio central está dentro do caminho amperiano. Portanto,
.
Passo 4
Substituindo
na equação, temos:
Agora, vamos resolver para
:
Isso nos dá a magnitude do campo magnético na região
. A direção do campo é dada pela regra da mão direita: se você encostar o polegar na direção da corrente, os dedos enrolam na direção do campo magnético. Como a corrente no fio central é
, o campo magnético circula ao redor dele.
Passo 5
Agora, vamos analisar a região onde
. Novamente, usamos um caminho amperiano circular de raio
, mas dessa vez, esse caminho envolve tanto o fio central quanto a casca cilíndrica.
Veja só: o fio central leva uma corrente
e a casca leva uma corrente
no sentido oposto. Então, a corrente total encerrada pelo caminho é:
Ou seja, as correntes se anulam!
Passo 6
Substituindo
na Lei de Ampère:
Isso nos dá:
Portanto, fora da casca cilíndrica (
), o campo magnético é zero. Isso acontece porque as correntes se cancelam totalmente, deixando nenhum campo magnético nessa região.
Resposta
Na região
, o campo magnético tem módulo
, circula em sentido contrário à corrente do fio central. Já na região
, o campo magnético é nulo, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Duas cargas puntiformes,
e
, estão separadas por
. Determine: a) o módulo do momento de dipolo.
Duas cargas puntiformes, cada uma com
, estão no eixo
; umas das cargas está na origem e a outra em
. Determine o campo elétrico nos seguintes pontos: b)
Mostre que
é mínimo se u for o estado fundamental (de mais baixa energia) do hamiltoniano H .
Mostre que valem as seguintes relações entre operadores:
©
©