Mostre que
é mínimo se u for o estado fundamental (de mais baixa energia) do hamiltoniano H .
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que o valor esperado
é mínimo quando
é o estado fundamental (ou de menor energia) do hamiltoniano
. Estamos trabalhando com conceitos de mecânica quântica, especificamente com o princípio variacional e propriedades dos operadores hamiltonianos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é valor esperado, estado fundamental e como esses conceitos se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o valor esperado de um operador
no estado
. Matematicamente, isso é representado por
. O valor esperado nos dá uma média de todas as possíveis medições da energia se o sistema estiver no estado
.
Passo 3
Agora, o estado fundamental é o estado de menor energia que o sistema pode ter. É o estado mais estável e fundamental do sistema quântico. A energia correspondente a esse estado é frequentemente chamada de
.
Passo 4
Aqui entra o princípio variacional, que afirma que para qualquer estado
normalizado, o valor esperado
será sempre maior ou igual ao valor da energia do estado fundamental
. Ou seja:
Esse princípio implica que o valor mínimo de
ocorre exatamente quando
é o estado fundamental, pois nesse caso a igualdade é alcançada.
Resposta
Portanto, mostramos que
é mínimo quando
é o estado fundamental do hamiltoniano
.