Mostre que é mínimo se u for o estado fundamental (de mais baixa energia) do hamiltoniano H .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que o valor esperado lang<= u|H| u rang<= é mínimo quando u é o estado fundamental (ou de menor energia) do hamiltoniano H. Estamos trabalhando com conceitos de mecânica quântica, especificamente com o princípio variacional e propriedades dos operadores hamiltonianos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é valor esperado, estado fundamental e como esses conceitos se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o valor esperado de um operador H no estado u. Matematicamente, isso é representado por lang<= u|H| u rang<=. O valor esperado nos dá uma média de todas as possíveis medições da energia se o sistema estiver no estado u.

Passo 3

Agora, o estado fundamental é o estado de menor energia que o sistema pode ter. É o estado mais estável e fundamental do sistema quântico. A energia correspondente a esse estado é frequentemente chamada de E0.

Passo 4

Aqui entra o princípio variacional, que afirma que para qualquer estado u normalizado, o valor esperado lang<= u|H| u rang<= será sempre maior ou igual ao valor da energia do estado fundamental E0. Ou seja:
lang<= u|H| u rang<= >= E0
Esse princípio implica que o valor mínimo de lang<= u|H| u rang<= ocorre exatamente quando u é o estado fundamental, pois nesse caso a igualdade é alcançada.

Resposta

Portanto, mostramos que lang<= u|H| u rang<= é mínimo quando u é o estado fundamental do hamiltoniano H.

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