Um fio com 7 mm de diâmetro e 80 m de comprimento é feito de um aço com módulo de elasticidade E = 200 GPa e limite de resistência à tração de 500 MPa. Se o fator de segurança desejado for igual a 3,0, determine o correspondente alongamento desse fio.
a. 0,067 m
b. 0,134 m
c. 0,0335 m
d. 0,201 m e. 0,0536 m
a. 0,067 m
b. 0,134 m
c. 0,0335 m
d. 0,201 m e. 0,0536 m
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio de aço com diâmetro de 7 mm e comprimento de 80 metros. Ele é feito de um aço que tem módulo de elasticidade $ E = 200 , GPa $ e limite de resistência à tração de 500 MPa. A gente quer saber quanto esse fio vai se alongar, considerando um fator de segurança de 3,0. Vamos precisar usar conceitos de tensão, módulo de elasticidade e fator de segurança para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fator de segurança. Ele basicamente nos indica o quanto a resistência real do material é maior do que a que estamos usando no cálculo. No caso, o limite de resistência à tração é de 500 MPa, mas com um fator de segurança de 3,0, a gente vai usar apenas uma parte dessa resistência para garantir segurança. Então, vamos calcular a tensão admissível.
Passo 3
A tensão admissível ($ \sigma_{admissível} $) é o limite de resistência dividido pelo fator de segurança:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar essa tensão admissível com o alongamento do fio. Para isso, usamos a fórmula do alongamento ($ \Delta L $) baseada no módulo de elasticidade:
Onde:
- $ \sigma $ é a tensão admissível,
- $ L $ é o comprimento do fio,
- $ E $ é o módulo de elasticidade.
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula. Primeiro, convertemos todas as unidades para o Sistema Internacional (SI):
- Módulo de elasticidade: $ E = 200 , GPa = 200 \times 10^9 , Pa $
- Tensão admissível: $ \sigma = 166,67 , MPa = 166,67 \times 10^6 , Pa $
- Comprimento: $ L = 80 , m $
Agora, substituindo na fórmula:
Passo 6
Vamos calcular o valor:
Arredondando, temos aproximadamente 0,067 metros de alongamento.
Resposta
A elongação correspondente do fio é de 0,067 m.