Um fio elétrico de 3 mm de diâmetro e 5 m de comprimento está firmemente recoberto com uma cobertura plástica de 2 mm de espessura, cuja condutividade térmica é k=0,15 W /(m ^circ C). A potência dissipada pelo fio é de 80 W devido o aquecimento por efeito Joule. A temperatura na interface entre o fio e a cobertura plástica é de 105^circ C para uma determinada temperatura do ar ambiente com um coeficiente de transferência de calor de h=12 W /(m^2 ^circ C). Determine a temperatura ambiente em que o fio se encontra. Para melhorar a perda de calor pelo condutor e evitar aquecimento excessivo você recomendaria trocar o condutor por outro idêntico, porém sem cobertura? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio elétrico que está esquentando por causa do efeito Joule e está coberto por uma proteção plástica. A matéria envolve transferência de calor por condução e convecção. Para resolver, vamos precisar calcular como o calor se dissipa do fio para o ambiente, considerando a condutividade térmica da cobertura e o coeficiente de transferência de calor do ar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Diâmetro do fio: 3 mm → raio mm = 0,0015 m
  • Comprimento do fio: 5 m
  • Espessura da cobertura plástica: 2 mm
  • Condutividade térmica da plástica: W/(m⋅°C)
  • Potência dissipada pelo fio: 80 W
  • Temperatura na interface fio-cobertura: 105°C
  • Coeficiente de transferência de calor do ar: W/(m²⋅°C)
Queremos encontrar a temperatura ambiente.

Passo 3

Vamos considerar que o calor gerado pelo fio se dissipa em duas etapas:
  1. Condução através da cobertura plástica.
  2. Convecção do ar ambiente para a superfície da cobertura.
Vamos calcular cada uma dessas resistências térmicas.

Passo 4

Primeiro, calculamos a resistência térmica por condução ( Rcond = ln(rcoberturarfios)2pi k L ) da cobertura plástica. A fórmula é:
Rcond = ln(0,00350,0015)2 pi times 0,15 times 5
Onde:
  • m
  • m
Substituindo os valores:

Passo 5

Calculando:
ln(0,00350,0015) = ln(2,333) approx 0,847
Então:
Rcond = 0,8472 pi times 0,15 times 5 = 0,8474,712 approx 0,179 , °C/W

Passo 6

Agora, calculamos a resistência térmica por convecção ( Rconv = 1h A ). A fórmula é:
A = 2 pi rcobertura L = 2 pi times 0,0035 times 5 approx 0,11 , m²
Onde Rconv = 112 times 0,11 approx 11,32 approx 0,758 , °C/W é a área superficial da cobertura plástica, que é a área lateral de um cilindro:
²
Substituindo:

Passo 7

A resistência térmica total ( Rtotal = Rcond + Rconv = 0,179 + 0,758 = 0,937 , °C/W ) é a soma das resistências de condução e convecção:

Passo 8

Sabemos que a potência dissipada ( P = De) está relacionada à resistência total e à diferença de temperatura ( De):
Rearranjando para encontrar :

Passo 9

A De representa a diferença entre a temperatura na interface e a temperatura ambiente:
Tambiente = 105 - 75 = 30 , °C
Substituindo os valores:

Resposta

A temperatura ambiente é de 30 °C. Para melhorar a perda de calor e evitar o superaquecimento, não seria recomendado remover a cobertura plástica. A cobertura contribui para aumentar a resistência térmica, o que ajuda a manter a temperatura na interface controlada. Sem a cobertura, o calor seria dissipado de forma mais rápida, mas isso poderia levar a variações maiores na temperatura do fio, potencialmente causando riscos ou danos.

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