Um fio ideal de 40 cm de comprimento e uma esfera de 0,10 kg de massa constituem um pêndulo cônico, formando um ângulo theta=8^0 com a vertical. Determine:
A tração no fio;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um pêndulo cônico formado por um fio de 40 cm de comprimento e uma esfera de 0,10 kg. Esse pêndulo faz um ângulo de 8 graus com a vertical. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a tração no fio.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de forças em equilíbrio e movimento circular. Vamos analisar as forças que atuam na esfera e como elas se equilibram para manter o pêndulo em movimento circular constante.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama das forças atuando na esfera. Temos duas forças principais:
  1. Força peso §: é a força da gravidade agindo para baixo, calculada por , onde é a massa e é a aceleração da gravidade ( ).
  2. Tração no fio (T): é a força exercida pelo fio na esfera, que tem duas componentes:
    • Componente vertical (T_y): contrabalança a força peso.
    • Componente horizontal (T_x): fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular da esfera.

Passo 3

Vamos calcular a força peso primeiro:
P = m times g = 0,10 , kg times 9,8 , m/s^2 = 0,98 , N
Essa é a força que puxa a esfera para baixo.

Passo 4

Agora, vamos relacionar as componentes da tração no fio com o ângulo de 8 graus.
Sabemos que:
tan(theta) = TxTy
E que a componente vertical Ty = P equilibra a força peso:
tan(8^circ) = Tx0,98 , N
Então:
Tx = 0,98 , N times tan(8^circ)
Fc = m v^2r
Mas também sabemos que a componente horizontal é a força centrípeta necessária para manter a esfera em movimento circular. A força centrípeta é dada por:
Onde é a velocidade da esfera e é o raio da trajetória circular.

Passo 5

Vamos encontrar o raio r = L times sin(theta) da trajetória. O raio é a distância horizontal da esfera até o ponto de suspensão, que pode ser encontrado usando o comprimento do fio e o ângulo.
r = 0,40 , m times sin(8^circ)
r approx 0,40 , m times 0,1392
r approx 0,0557 , m

Passo 6

Agora, precisamos relacionar a velocidade tan(theta) = FcP com o período de rotação, mas como a questão não fornece tempo ou frequência, podemos evitar esse caminho. Em vez disso, vamos usar a relação entre as componentes da tração.
Sabemos que:
tan(8^circ) = Fc0,98 , N
Fc = 0,98 , N times tan(8^circ)
Fc approx 0,98 , N times 0,1405
Fc approx 0,1379 , N

Passo 7

Agora, temos que a tração total no fio T = raizTx^2 + Ty^2 é a força resultante das componentes vertical e horizontal:
T = raiz(0,1379 , N)^2 + (0,98 , N)^2
T = raiz0,0190 , N^2 + 0,9604 , N^2
T = raiz0,9794 , N^2
T approx 0,9897 , N

Resposta

A tração no fio é aproximadamente .

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