Um fio ideal de 40 cm de comprimento e uma esfera de
de massa constituem um pêndulo cônico, formando um ângulo
com a vertical. Determine:
A tração no fio;
A tração no fio;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um pêndulo cônico formado por um fio de 40 cm de comprimento e uma esfera de 0,10 kg. Esse pêndulo faz um ângulo de 8 graus com a vertical. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a tração no fio.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de forças em equilíbrio e movimento circular. Vamos analisar as forças que atuam na esfera e como elas se equilibram para manter o pêndulo em movimento circular constante.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama das forças atuando na esfera. Temos duas forças principais:
-
Força peso §: é a força da gravidade agindo para baixo, calculada por
, onde é a massa e é a aceleração da gravidade ( ). -
Tração no fio (T): é a força exercida pelo fio na esfera, que tem duas componentes:
- Componente vertical (T_y): contrabalança a força peso.
- Componente horizontal (T_x): fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular da esfera.
Passo 3
Vamos calcular a força peso primeiro:
Essa é a força que puxa a esfera para baixo.
Passo 4
Agora, vamos relacionar as componentes da tração no fio com o ângulo de 8 graus.
Sabemos que:
E que a componente vertical
equilibra a força peso:
Então:
Mas também sabemos que a componente horizontal
é a força centrípeta necessária para manter a esfera em movimento circular. A força centrípeta é dada por:
Onde
é a velocidade da esfera e
é o raio da trajetória circular.
Passo 5
Vamos encontrar o raio
da trajetória. O raio é a distância horizontal da esfera até o ponto de suspensão, que pode ser encontrado usando o comprimento do fio e o ângulo.
Passo 6
Agora, precisamos relacionar a velocidade
com o período de rotação, mas como a questão não fornece tempo ou frequência, podemos evitar esse caminho. Em vez disso, vamos usar a relação entre as componentes da tração.
Sabemos que:
Passo 7
Agora, temos que a tração total no fio
é a força resultante das componentes vertical e horizontal:
Resposta
A tração no fio é aproximadamente
.
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e $\left\langle x^{2}\right\rangle=9.
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