Psi(x)=raiz54pi(1x^2+9)
mostre que lang<= xrang<==0 e $\left\langle x^{2}\right\rangle=9.
$$

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda e pede para mostrarmos que a média de , , é zero e a média de , , é igual a 9. Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente o cálculo de valores médios (expectation values) usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular lang<= x rang<= = integral-infty^infty Psi^*(x) , x , Psi(x) , dx . O valor médio de lang<= x rang<= = integral-infty^infty Psi(x) , x , Psi(x) , dx = integral-infty^infty |Psi(x)|^2 , x , dx é dado por:
Como é real, . Então:

Passo 3

Vamos substituir |Psi(x)|^2 = ( raiz54pi , 1x^2 + 9 )^2 = 54pi , 1(x^2 + 9)^2 na integral:
lang<= x rang<= = 54pi integral-infty^infty x(x^2 + 9)^2 , dx
Então:

Passo 4

Observando a função integranda integral-infty^infty x(x^2 + 9)^2 , dx = 0 , vemos que ela é uma função ímpar porque lang<= x rang<= = 0 é ímpar e é par. Integrar uma função ímpar sobre todo o eixo real resulta em zero:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular lang<= x^2 rang<= = integral-infty^infty Psi^*(x) , x^2 , Psi(x) , dx = integral-infty^infty |Psi(x)|^2 , x^2 , dx :
lang<= x^2 rang<= = 54pi integral-infty^infty x^2(x^2 + 9)^2 , dx
Substituindo :

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer uma forma padrão de integral. Sabemos que:
integral-infty^infty x^2(x^2 + a^2)^2 , dx = pi2a
Onde integral-infty^infty x^2(x^2 + 9)^2 , dx = pi2 times 3 = pi6 no nosso caso. Então:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para lang<= x^2 rang<= = 54pi times pi6 = 546 = 9 :

Resposta

lang<= x rang<= = 0 e lang<= x^2 rang<= = 9

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