mostre que e $\left\langle x^{2}\right\rangle=9.
$$

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda e pede para mostrarmos que a média de , , é zero e a média de , , é igual a 9. Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente o cálculo de valores médios (expectation values) usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . O valor médio de é dado por:
Como é real, . Então:

Passo 3

Vamos substituir na integral:
Então:

Passo 4

Observando a função integranda , vemos que ela é uma função ímpar porque é ímpar e é par. Integrar uma função ímpar sobre todo o eixo real resulta em zero:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Substituindo :

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer uma forma padrão de integral. Sabemos que:
Onde no nosso caso. Então:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

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Sendo
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b) Normalize e mostre que .
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