mostre que
e $\left\langle x^{2}\right\rangle=9.
$$
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda
e pede para mostrarmos que a média de
,
, é zero e a média de
,
, é igual a 9. Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente o cálculo de valores médios (expectation values) usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. O valor médio de
é dado por:
Como
é real,
. Então:
Passo 3
Vamos substituir
na integral:
Então:
Passo 4
Observando a função integranda
, vemos que ela é uma função ímpar porque
é ímpar e
é par. Integrar uma função ímpar sobre todo o eixo real resulta em zero:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Substituindo
:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer uma forma padrão de integral. Sabemos que:
Onde
no nosso caso. Então:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão para
:
Resposta
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Sendo
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.
b) Normalize e mostre que
.
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b) Normalize
c) Mostre que a probabilidade de que a partícula seja encontrada no intervalo