Um fio de nylon tem massa igual a 8,00 g, comprimento igual a 1,00 m e está submetido a uma tensão igual a 80,0 N e suas extremidades estão fixas.
Escreva a funçăo de onda da onda viajante que gera a onda estacionária na corda (para o primeiro harmónico).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um fio de nylon com massa de , comprimento de , e uma tensão de , cujas extremidades estão fixas. Nosso objetivo é escrever a função de onda de uma onda viajante que gera uma onda estacionária na corda, especificamente para o primeiro harmônico. Vamos precisar entender conceitos de ondas em cordas, como a velocidade da onda, número de onda e frequência angular.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade linear do fio, que é a massa por unidade de comprimento. A densidade linear ( mu = mL ) é dada por:
mu = 0,008 , kg1,00 , m = 0,008 , kg/m
Onde:
  • (convertendo para kg)
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade da onda ( v = raizTmu ) na corda usando a fórmula:
v = raiz80,00,008 = raiz10.000 = 100 , m/s
Onde:
  • (tensão na corda)
  • (densidade linear)
Substituindo os valores:

Passo 4

Para o primeiro harmônico (ou modo fundamental), o comprimento da corda ( L = lambda2 ) está relacionado ao comprimento de onda ( lambda = 2L = 2 times 1,00 , m = 2,00 , m ) pela relação:
Isso porque no primeiro harmônico, temos meio comprimento de onda na corda. Assim, podemos encontrar :

Passo 5

Agora, vamos calcular o número de onda ( k = 2pilambda = 2pi2,00 , m = pi , rad/m ) e a frequência angular ( f = vlambda = 100 , m/s2,00 , m = 50 , Hz ). O número de onda é dado por:
omega = 2pi f = 2pi times 50 , Hz = 100pi , rad/s
A frequência ( ) pode ser encontrada usando a relação entre velocidade e comprimento de onda:
E a frequência angular é:

Passo 6

Finalmente, podemos escrever a função de onda de uma onda viajante que gera a onda estacionária. Uma onda viajante pode ser descrita por:
y(x, t) = A sin(kx - omega t)
Onde:
  • y(x, t) = A sin(pi x - 100pi t) é a amplitude da onda (não especificada no problema, então mantemos como )
Substituindo os valores:

Resposta

A função de onda da onda viajante que gera a onda estacionária no primeiro harmônico é:
y(x, t) = A sin(pi x - 100pi t)

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