1. Um fio de resistência elétrica de 3,5 m de comprimento e 1,5 kW de potência é feito de 0,25 cm de diâmetro de aço inoxidável ( k= 15 W /(m^circ C) ). O fio de resistência opera em um ambiente a 30 ^circ C. Determine a temperatura da superfície do fio se for resfriado por um ventilador que sopra ar a uma velocidade de 6 m / s.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio de aço inoxidável com determinados comprimentos, diâmetro e potência elétrica. Esse fio está sendo resfriado por um ventilador que sopra ar a uma certa velocidade, e queremos descobrir qual é a temperatura da superfície desse fio. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especificamente condução e convecção térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Comprimento do fio,
  • Potência elétrica,
  • Diâmetro do fio,
  • Condutividade térmica do aço inoxidável,
  • Temperatura ambiente,
  • Velocidade do ar,

Passo 3

Vamos calcular a área de superfície do fio, já que a transferência de calor por convecção depende dessa área. A área da superfície de um cilindro é dada por:
A = pi d L
Substituindo os valores:
A = pi times 0,0025 , m times 3,5 , m = pi times 0,00875 , m^2 approx 0,0274 , m^2

Passo 4

Agora, precisamos determinar como a potência elétrica está relacionada à transferência de calor. A potência dissipada pelo fio é igual à potência transferida para o ar por convecção. Usamos a equação da convecção:
P = h A (TS - TA)
Onde:
  • é a potência dissipada,
  • é o coeficiente de convecção,
  • é a área de superfície,
  • é a temperatura da superfície do fio,
  • é a temperatura ambiente.

Passo 5

Precisamos determinar o coeficiente de convecção, Nu = 0,3 + 0,62 Re^1/2 Pr^1/3[1 + (0,4/Pr)^2/3]^1/4 [1 + (Re282000)^5/8]^4/5 . Para isso, podemos usar a correlação de Nusselt para fluxo laminar sobre um cilindro:
Onde:
  • é o número de Reynolds,
  • é o número de Prandtl.

Passo 6

Calculamos o número de Reynolds ( Re = V dnu ):
Re = 6 times 0,00251,5 times 10^-5 = 1000
Assumindo que a viscosidade cinemática do ar ( ) é aproximadamente ,

Passo 7

Calculamos o número de Prandtl ( ) para o ar, que é aproximadamente 0,71.

Passo 8

Com Nu approx 0,3 + 0,62 times 1000^1/2 times 0,71^1/3[1 + (0,4/0,71)^2/3]^1/4 [1 + (1000282000)^5/8]^4/5 e , substituímos na correlação de Nusselt:
Calculando isso, obtemos aproximadamente .

Passo 9

Agora, usamos a definição de número de Nusselt para encontrar Nu = h dkar :
h = Nu times kard = 100 times 0,0260,0025 = 1040 , W/(m^2 cdot °C)
Assumindo que a condutividade térmica do ar ( ) é aproximadamente ,

Passo 10

Agora, voltamos à equação da convecção para encontrar P = h A (TS - TA) Rightarrow TS = Ph A + TA :
TS = 15001040 times 0,0274 + 30 approx 150028,50 + 30 approx 52,63 + 30 = 82,63 , °C
Substituindo os valores:

Resposta

A temperatura da superfície do fio é aproximadamente .

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