Um fio retilíneo de comprimento l está carregado com carga total Q, distribuída com densidade lambda(x) que pode ser das seguintes formas:
i. lambda(x)=a (constante).
ii. lambda(x)=b(l-x).
iii. lambda(x)=c x.
Para cada uma dessas distribuições, determine:
c. A intensidade do campo para d=l=5 cm e Q=3 mu C, utilizando 14 pi varepsilon0=9.10^9 Nm^2 / C^2. A ordenação desses valores está de acordo com suas expectativas?
(Considere quais seriam suas expectativas e por que razão.)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fio reto com comprimento $ l = 5 $ cm, carregado com uma carga total $ Q = 3 , \mu C $. A carga está distribuída ao longo do fio de três maneiras diferentes:
  1. Distribuição constante: $ \lambda(x) = a $
  2. Distribuição que diminui linearmente: $ \lambda(x) = b(l - x) $
  3. Distribuição que aumenta linearmente: $ \lambda(x) = c x $
O que a questão quer é que a gente calcule a intensidade do campo elétrico ($ E $) gerado por essas diferentes distribuições de carga no ponto onde a distância $ d = l = 5 $ cm. Além disso, depois de calcular, precisamos ver se os resultados fazem sentido de acordo com nossas expectativas e entender o porquê.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a lei de Coulomb e a integração para distribuição contínua de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição linear de carga. A fórmula básica para o campo elétrico devido a um elemento de carga $ dq $ é:
dq
Onde:
  • $ dE $ é o campo elétrico gerado pelo elemento de carga $ dq $
  • $ r $ é a distância do elemento de carga até o ponto onde estamos calculando o campo
  • $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, e sabemos que $ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9 , Nm2/\text{C}2 $
Como a distribuição de carga pode variar, vamos precisar integrar essa expressão ao longo de todo o fio para obter o campo total $ E $.

Passo 3

Vamos começar com a distribuição constante, onde $ \lambda(x) = a $.
  1. Expressão para $ dq $:
    lambda(x) = a
  2. Campo elétrico total $ E $:
    Como o campo elétrico de cada elemento de carga aponta para longe do fio (se a carga for positiva), e devido à simetria, vamos integrar ao longo de todo o fio para obter o campo total.
    dq
    Simplificando:
    dq = lambda(x) , dx = a , dx
    A integral de $ dx $ de 0 a $ l $ é simplesmente $ l $, então:
    E

Passo 4

Agora, sabemos que a carga total $ Q $ está relacionada à densidade de carga $ \lambda(x) $:
Q
Portanto, podemos substituir $ a l = Q $ na expressão para $ E $:
lambda(x)
Substituindo os valores numéricos:
Q = integral lambda(x) , dx = integral0^l a , dx = a l
Calculando:
a l = Q

Passo 5

Agora, vamos para a distribuição que diminui linearmente, $ \lambda(x) = b(l - x) $.
  1. Expressão para $ dq $:
    lambda(x) = b(l - x)
  2. Campo elétrico total $ E $:
    dq
    Simplificando:
    dq = b(l - x) , dx
    A integral de $ (l - x) , dx $ de 0 a $ l $ é $ l^2/2 $, então:
    E
  3. Relacionando com a carga total $ Q $:
    E = 14pivarepsilon0 integral b(l - x)d^2 , dx
    Substituindo $ b $ na expressão para $ E $:
    E = b4pivarepsilon0 d^2 integral (l - x) , dx
    Ou seja, o mesmo resultado que na distribuição constante.

Passo 6

Por último, vamos calcular para a distribuição que aumenta linearmente, $ \lambda(x) = c x $.
  1. Expressão para $ dq $:
    lambda(x) = c x
  2. Campo elétrico total $ E $:
    dq
    Simplificando:
    dq = c x , dx
    A integral de $ x , dx $ de 0 a $ l $ é $ l^2/2 $, então:
    E
  3. Relacionando com a carga total $ Q $:
    E = 14pivarepsilon0 integral c xd^2 , dx
    Substituindo $ c $ na expressão para $ E $:
    E = c4pivarepsilon0 d^2 integral x , dx
    Novamente, o mesmo resultado dos casos anteriores.

Passo 7

Agora que calculamos o campo elétrico para as três distribuições, percebemos que, independentemente da forma como a carga está distribuída ao longo do fio, o campo elétrico no ponto considerado é o mesmo:
E = Q4pivarepsilon0 d^2 approx 1,08 times 10^7 , N/C

Resposta

A intensidade do campo elétrico para todas as distribuições de carga consideradas é aproximadamente $ 1,08 \times 10^7 , N/C $. Isso está de acordo com as expectativas, pois independentemente de como a carga está distribuída ao longo do fio (constante, decrescente ou crescente), o campo elétrico no ponto específico permanece o mesmo devido à simetria e à integral das distribuições resultando na mesma expressão para $ E $.

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