Um fio retilíneo de comprimento
está carregado com carga total
, distribuída com densidade
que pode ser das seguintes formas:
i.
(constante).
ii.
.
iii.
.
Para cada uma dessas distribuições, determine:
c. A intensidade do campo para
e
, utilizando
. A ordenação desses valores está de acordo com suas expectativas?
(Considere quais seriam suas expectativas e por que razão.)
i.
ii.
iii.
Para cada uma dessas distribuições, determine:
c. A intensidade do campo para
(Considere quais seriam suas expectativas e por que razão.)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fio reto com comprimento $ l = 5 $ cm, carregado com uma carga total $ Q = 3 , \mu C $. A carga está distribuída ao longo do fio de três maneiras diferentes:
- Distribuição constante: $ \lambda(x) = a $
- Distribuição que diminui linearmente: $ \lambda(x) = b(l - x) $
- Distribuição que aumenta linearmente: $ \lambda(x) = c x $
O que a questão quer é que a gente calcule a intensidade do campo elétrico ($ E $) gerado por essas diferentes distribuições de carga no ponto onde a distância $ d = l = 5 $ cm. Além disso, depois de calcular, precisamos ver se os resultados fazem sentido de acordo com nossas expectativas e entender o porquê.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a lei de Coulomb e a integração para distribuição contínua de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição linear de carga. A fórmula básica para o campo elétrico devido a um elemento de carga $ dq $ é:
Onde:
- $ dE $ é o campo elétrico gerado pelo elemento de carga $ dq $
- $ r $ é a distância do elemento de carga até o ponto onde estamos calculando o campo
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, e sabemos que $ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9 , Nm2/\text{C}2 $
Como a distribuição de carga pode variar, vamos precisar integrar essa expressão ao longo de todo o fio para obter o campo total $ E $.
Passo 3
Vamos começar com a distribuição constante, onde $ \lambda(x) = a $.
-
Expressão para $ dq $:
-
Campo elétrico total $ E $:Como o campo elétrico de cada elemento de carga aponta para longe do fio (se a carga for positiva), e devido à simetria, vamos integrar ao longo de todo o fio para obter o campo total.Simplificando:A integral de $ dx $ de 0 a $ l $ é simplesmente $ l $, então:
Passo 4
Agora, sabemos que a carga total $ Q $ está relacionada à densidade de carga $ \lambda(x) $:
Portanto, podemos substituir $ a l = Q $ na expressão para $ E $:
Substituindo os valores numéricos:
Calculando:
Passo 5
Agora, vamos para a distribuição que diminui linearmente, $ \lambda(x) = b(l - x) $.
-
Expressão para $ dq $:
-
Campo elétrico total $ E $:Simplificando:A integral de $ (l - x) , dx $ de 0 a $ l $ é $ l^2/2 $, então:
-
Relacionando com a carga total $ Q $:Substituindo $ b $ na expressão para $ E $:Ou seja, o mesmo resultado que na distribuição constante.
Passo 6
Por último, vamos calcular para a distribuição que aumenta linearmente, $ \lambda(x) = c x $.
-
Expressão para $ dq $:
-
Campo elétrico total $ E $:Simplificando:A integral de $ x , dx $ de 0 a $ l $ é $ l^2/2 $, então:
-
Relacionando com a carga total $ Q $:Substituindo $ c $ na expressão para $ E $:Novamente, o mesmo resultado dos casos anteriores.
Passo 7
Agora que calculamos o campo elétrico para as três distribuições, percebemos que, independentemente da forma como a carga está distribuída ao longo do fio, o campo elétrico no ponto considerado é o mesmo:
Resposta
A intensidade do campo elétrico para todas as distribuições de carga consideradas é aproximadamente $ 1,08 \times 10^7 , N/C $. Isso está de acordo com as expectativas, pois independentemente de como a carga está distribuída ao longo do fio (constante, decrescente ou crescente), o campo elétrico no ponto específico permanece o mesmo devido à simetria e à integral das distribuições resultando na mesma expressão para $ E $.