Um fio retilíneo de comprimento l está carregado com carga total Q, distribuída com densidade lambda(x) que pode ser das seguintes formas:
i. lambda(x)=a (constante).
ii. lambda(x)=b(l-x).
iii. lambda(x)=c x.
Para cada uma dessas distribuições, determine:
a. A expressão das constantes a, b e c em termos da carga total e do comprimento do fio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre carga elétrica distribuída em um fio retilíneo. A gente tem um fio de comprimento com uma carga total espalhada de maneiras diferentes. O que a gente precisa descobrir é como encontrar as constantes , e para cada tipo de distribuição de carga. Para isso, vamos usar o conceito de densidade linear de carga e integrar essa densidade ao longo do comprimento do fio para igualar à carga total .

Passo 2

Distribuição i: Q = integral0^l lambda(x) , dx (constante)
Aqui, a densidade de carga é constante ao longo do fio. Isso significa que a carga está distribuída igualmente.
A gente sabe que a carga total Q = integral0^l a , dx = a cdot l é a integral da densidade de carga a = Ql de 0 a :
Substituindo :
Para encontrar , basta isolar:

Passo 3

Distribuição ii: Q = integral0^l b(l - x) , dx
Aqui, a densidade de carga varia linearmente com a posição Q = b integral0^l (l - x) , dx = b [ l x - x^22 ]0^l . No ponto Q = b ( l cdot l - l^22 ) = b ( l^2 - l^22 ) = b cdot l^22 , a densidade é b = 2Ql^2 , e no ponto , é 0.
Usando a mesma fórmula da carga total:
Vamos resolver a integral:
Calculando os limites:
Isolando :

Passo 4

Distribuição iii: Q = integral0^l c x , dx
Nesta distribuição, a densidade de carga aumenta linearmente com Q = c integral0^l x , dx = c [ x^22 ]0^l . No ponto Q = c cdot l^22 , a densidade é 0, e em c = 2Ql^2 , é .
Usando a fórmula da carga total:
Resolvendo a integral:
Calculando os limites:
Isolando :

Resposta

As constantes são:
a = Ql, b = 2Ql^2, c = 2Ql^2

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