Um fio retilíneo de comprimento
está carregado com carga total
, distribuída com densidade
que pode ser das seguintes formas:
i.
(constante).
ii.
.
iii.
.
Para cada uma dessas distribuições, determine:
a. A expressão das constantes
e
em termos da carga total e do comprimento do fio.
i.
ii.
iii.
Para cada uma dessas distribuições, determine:
a. A expressão das constantes
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre carga elétrica distribuída em um fio retilíneo. A gente tem um fio de comprimento
com uma carga total
espalhada de maneiras diferentes. O que a gente precisa descobrir é como encontrar as constantes
,
e
para cada tipo de distribuição de carga. Para isso, vamos usar o conceito de densidade linear de carga e integrar essa densidade ao longo do comprimento do fio para igualar à carga total
.
Passo 2
Distribuição i:
(constante)
Aqui, a densidade de carga é constante ao longo do fio. Isso significa que a carga está distribuída igualmente.
A gente sabe que a carga total
é a integral da densidade de carga
de 0 a
:
Substituindo
:
Para encontrar
, basta isolar:
Passo 3
Distribuição ii:
Aqui, a densidade de carga varia linearmente com a posição
. No ponto
, a densidade é
, e no ponto
, é 0.
Usando a mesma fórmula da carga total:
Vamos resolver a integral:
Calculando os limites:
Isolando
:
Passo 4
Distribuição iii:
Nesta distribuição, a densidade de carga aumenta linearmente com
. No ponto
, a densidade é 0, e em
, é
.
Usando a fórmula da carga total:
Resolvendo a integral:
Calculando os limites:
Isolando
:
Resposta
As constantes são: