Um fio retilíneo de comprimento
está carregado com carga total
, distribuída com densidade
que pode ser das seguintes formas:
i.
(constante).
ii.
.
iii.
.
Para cada uma dessas distribuições, determine:
b. O campo elétrico num ponto situado sobre o prolongamento do fio, a uma distância
da sua extremidade, conforme ilustrado abaixo.
i.
ii.
iii.
Para cada uma dessas distribuições, determine:
b. O campo elétrico num ponto situado sobre o prolongamento do fio, a uma distância
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um fio reto de comprimento
carregado com uma carga total
. A densidade de carga
varia de três formas diferentes:
i.
(constante).
ii.
.
iii.
.
O que queremos é determinar o campo elétrico em um ponto que está no prolongamento do fio, a uma distância
da sua extremidade. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a lei de Coulomb para calcular o campo elétrico devido a uma distribuição contínua de carga.
Passo 2
Vamos estabelecer o sistema de coordenadas. Imagine o fio estendido ao longo do eixo
, indo de
até
. O ponto onde queremos calcular o campo elétrico está localizado no ponto
.
Para calcular o campo elétrico
nesse ponto, vamos considerar um elemento de carga
localizado em uma posição
no fio. A distância desse elemento de carga até o ponto
onde estamos calculando o campo é
.
A contribuição diferencial de campo elétrico desse elemento
é dada por:
Como o fio está alinhado com o ponto
, todos os vetores de campo elétrico
apontam na mesma direção, então podemos somar diretamente as contribuições.
Passo 3
Agora, vamos expressar
em função de
. Sabemos que
, onde
é um pequeno segmento do fio.
Substituindo na expressão de
:
Para encontrar o campo elétrico total
, integramos
ao longo de todo o fio, de
a
:
Vamos resolver essa integral para cada uma das três formas de
.
Passo 4
Caso i:
(constante)
Substituindo na integral:
Fazendo a substituição
, então
. Os limites de integração mudam para
quando
e
quando
.
A integral fica:
Invertendo os limites:
Integrando:
Simplificando:
Passo 5
Caso ii:
Substituindo na integral:
Vamos fazer a substituição
, então
. Os limites de integração tornam-se
quando
e
quando
.
Expressando
em termos de
:
A integral fica:
Invertendo os limites:
Integrando:
Assim, simplificando:
Passo 6
Caso iii:
Substituindo na integral:
Fazendo a substituição
, então
. Quando
,
e quando
,
.
Expressando
em termos de
:
A integral fica:
Separando os termos:
Integrando:
Calculando os limites:
Simplificando:
Resposta
As expressões do campo elétrico no ponto
são:
i. Para
:
ii. Para
:
iii. Para
: