Um fio retilíneo de comprimento l está carregado com carga total Q, distribuída com densidade lambda(x) que pode ser das seguintes formas:
i. lambda(x)=a (constante).
ii. lambda(x)=b(l-x).
iii. lambda(x)=c x.
Para cada uma dessas distribuições, determine:
b. O campo elétrico num ponto situado sobre o prolongamento do fio, a uma distância d da sua extremidade, conforme ilustrado abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um fio reto de comprimento carregado com uma carga total . A densidade de carga varia de três formas diferentes:
i. (constante).
ii. .
iii. .
O que queremos é determinar o campo elétrico em um ponto que está no prolongamento do fio, a uma distância da sua extremidade. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a lei de Coulomb para calcular o campo elétrico devido a uma distribuição contínua de carga.

Passo 2

Vamos estabelecer o sistema de coordenadas. Imagine o fio estendido ao longo do eixo dE = 14pivarepsilon0 dqr^2 , indo de até . O ponto onde queremos calcular o campo elétrico está localizado no ponto .
Para calcular o campo elétrico nesse ponto, vamos considerar um elemento de carga localizado em uma posição no fio. A distância desse elemento de carga até o ponto onde estamos calculando o campo é .
A contribuição diferencial de campo elétrico desse elemento é dada por:
Como o fio está alinhado com o ponto , todos os vetores de campo elétrico apontam na mesma direção, então podemos somar diretamente as contribuições.

Passo 3

Agora, vamos expressar dE = 14pivarepsilon0 lambda(x) dx(l + d - x)^2 em função de E = 14pivarepsilon0 integral0^l lambda(x)(l + d - x)^2 dx . Sabemos que , onde é um pequeno segmento do fio.
Substituindo na expressão de :
Para encontrar o campo elétrico total , integramos ao longo de todo o fio, de a :
Vamos resolver essa integral para cada uma das três formas de .

Passo 4

Caso i: E = a4pivarepsilon0 integral0^l 1(l + d - x)^2 dx (constante)
Substituindo na integral:
E = a4pivarepsilon0 integrald^l + d 1u^2 (-du) = a4pivarepsilon0 integrall + d^d 1u^2 du
Fazendo a substituição E = a4pivarepsilon0 integrald^l + d 1u^2 du , então E = a4pivarepsilon0 [ -1u ]d^l + d = a4pivarepsilon0 ( -1l + d + 1d ) . Os limites de integração mudam para E = a4pivarepsilon0 ( 1d - 1l + d ) = a4pivarepsilon0 ( ld(l + d) ) = a l4pivarepsilon0 d(l + d) quando e quando .
A integral fica:
Invertendo os limites:
Integrando:
Simplificando:

Passo 5

Caso ii: E = b4pivarepsilon0 integral0^l l - x(l + d - x)^2 dx
Substituindo na integral:
l - x = l - (l + d - u) = u - d
Vamos fazer a substituição E = b4pivarepsilon0 integrald^l + d u - du^2 (-du) = b4pivarepsilon0 integrall + d^d u - du^2 du , então E = b4pivarepsilon0 integrald^l + d u - du^2 du = b4pivarepsilon0 integrald^l + d ( 1u - du^2 ) du . Os limites de integração tornam-se E = b4pivarepsilon0 [ ln u + du ]d^l + d = b4pivarepsilon0 ( ln(l + d) + dl + d - ln d - 1 ) quando E = b4pivarepsilon0 ( ln( l + dd ) + dl + d - 1 ) e quando .
Expressando em termos de :
A integral fica:
Invertendo os limites:
Integrando:
Assim, simplificando:

Passo 6

Caso iii: E = c4pivarepsilon0 integral0^l x(l + d - x)^2 dx
Substituindo na integral:
x = l + d - u
Fazendo a substituição E = c4pivarepsilon0 integrall + d^d l + d - uu^2 (-du) = c4pivarepsilon0 integrald^l + d l + d - uu^2 du , então E = c4pivarepsilon0 ( integrald^l + d l + du^2 du - integrald^l + d uu^2 du ) = c4pivarepsilon0 ( (l + d) integrald^l + d 1u^2 du - integrald^l + d 1u du ) . Quando E = c4pivarepsilon0 ( (l + d) [ -1u ]d^l + d - [ ln u ]d^l + d ) , E = c4pivarepsilon0 ( (l + d) ( -1l + d + 1d ) - ( ln(l + d) - ln d ) ) e quando E = c4pivarepsilon0 ( -1 + l + dd - ln( l + dd ) ) = c4pivarepsilon0 ( ld - ln(1 + ld) ) , .
Expressando em termos de :
A integral fica:
Separando os termos:
Integrando:
Calculando os limites:
Simplificando:

Resposta

As expressões do campo elétrico no ponto E = a l4pivarepsilon0 d (l + d) são:
i. Para E = b4pivarepsilon0 ( ln( l + dd ) + dl + d - 1 ) :
E = c4pivarepsilon0 ( ld - ln(1 + ld) )
ii. Para :
iii. Para :

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