Three spin 0 particles are situated at the corners of an equilateral triangle. Let us define the
-axis to go through the center and in the direction normal to the plane of the triangle. The whole system is free to rotate about the
-axis. Using statistics considerations, obtain restrictions on the magnetic quantum numbers corresponding to
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três partículas com spin zero posicionadas nos cantos de um triângulo equilátero. O eixo z passa pelo centro do triângulo e é perpendicular ao plano do triângulo. O sistema todo pode girar em torno do eixo z. A pergunta quer que, usando considerações estatísticas, a gente descubra quais são as restrições nos números quânticos magnéticos correspondentes a $ J_z $, que é o componente do momento angular total na direção z.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre momentos angulares, simetria do sistema e como a estatística impõe restrições nos estados possíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que cada partícula tem spin zero, ou seja, não contribui diretamente para o momento angular. Porém, a posição das partículas no triângulo gera um momento angular orbital coletivo para o sistema.
Como o triângulo é equilátero, o sistema tem simetria circular de 120 graus. Isso significa que, ao rotacionar o sistema em 120 graus ao redor do eixo z, a configuração das partículas permanece a mesma.
Passo 3
Agora, considere que o sistema pode ter diferentes estados de momento angular total $ J $ e sua componente $ J_z $. A simetria do triângulo implica que o estado físico deve ser invariante (ou adquirir apenas uma fase física permitida) quando o sistema é rotacionado em múltiplos de 120 graus.
Matematicamente, isso significa que aplicar uma rotação de $ 2\pi/3 $ (120 graus) ao estado deve multiplicá-lo por uma fase que mantenha a física inalterada.
Passo 4
A rotação de $ \alpha = 2\pi/3 $ ao redor do eixo z sobre um estado de momento angular $ J_z $ resulta na fase $ e^{i J_z \alpha} $. Para que o estado seja fisicamente válido após essa rotação, a fase resultante deve ser igual a uma das simetrias do sistema, que no caso são múltiplos de $ 2\pi $ dividido pela ordem da simetria.
Como a simetria do triângulo é de ordem 3, a condição é:
Passo 5
Para que as duas fases sejam iguais, os exponentes devem diferir por um múltiplo inteiro de $ 2\pi $. Logo:
Simplificando, cancelamos $ \frac{2\pi}{3} $:
Isso mostra que $ J_z $ deve ser congruente a $ n $ módulo 3, ou seja:
Passo 6
Como $ n $ pode ser 0, 1 ou 2, as possíveis valores de $ J_z $ são aqueles que, ao serem divididos por 3, dão resto 0, 1 ou 2. Isso significa que $ J_z $ pode ser qualquer inteiro que satisfaça essa condição.
Portanto, os números quânticos magnéticos permitidos para $ J_z $ são:
Resposta
Os números quânticos magnéticos $ J_z $ devem satisfazer $ J_z = 3k $, $ J_z = 3k + 1 $ ou $ J_z = 3k + 2 $, onde $ k $ é um número inteiro. Ou seja, $ J_z $ pode ser qualquer inteiro congruente a 0, 1 ou 2 módulo 3.