Three spin 0 particles are situated at the corners of an equilateral triangle. Let us define the z-axis to go through the center and in the direction normal to the plane of the triangle. The whole system is free to rotate about the z-axis. Using statistics considerations, obtain restrictions on the magnetic quantum numbers corresponding to Jz.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três partículas com spin zero posicionadas nos cantos de um triângulo equilátero. O eixo z passa pelo centro do triângulo e é perpendicular ao plano do triângulo. O sistema todo pode girar em torno do eixo z. A pergunta quer que, usando considerações estatísticas, a gente descubra quais são as restrições nos números quânticos magnéticos correspondentes a $ J_z $, que é o componente do momento angular total na direção z.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre momentos angulares, simetria do sistema e como a estatística impõe restrições nos estados possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cada partícula tem spin zero, ou seja, não contribui diretamente para o momento angular. Porém, a posição das partículas no triângulo gera um momento angular orbital coletivo para o sistema.
Como o triângulo é equilátero, o sistema tem simetria circular de 120 graus. Isso significa que, ao rotacionar o sistema em 120 graus ao redor do eixo z, a configuração das partículas permanece a mesma.

Passo 3

Agora, considere que o sistema pode ter diferentes estados de momento angular total $ J $ e sua componente $ J_z $. A simetria do triângulo implica que o estado físico deve ser invariante (ou adquirir apenas uma fase física permitida) quando o sistema é rotacionado em múltiplos de 120 graus.
Matematicamente, isso significa que aplicar uma rotação de $ 2\pi/3 $ (120 graus) ao estado deve multiplicá-lo por uma fase que mantenha a física inalterada.

Passo 4

A rotação de $ \alpha = 2\pi/3 $ ao redor do eixo z sobre um estado de momento angular $ J_z $ resulta na fase $ e^{i J_z \alpha} $. Para que o estado seja fisicamente válido após essa rotação, a fase resultante deve ser igual a uma das simetrias do sistema, que no caso são múltiplos de $ 2\pi $ dividido pela ordem da simetria.
Como a simetria do triângulo é de ordem 3, a condição é:
alpha = 2pi/3

Passo 5

Para que as duas fases sejam iguais, os exponentes devem diferir por um múltiplo inteiro de $ 2\pi $. Logo:
2pi é
Simplificando, cancelamos $ \frac{2\pi}{3} $:
Jz 2pi3 = 2pi n3 + 2pi k onde k é inteiro
Isso mostra que $ J_z $ deve ser congruente a $ n $ módulo 3, ou seja:
2pi3

Passo 6

Como $ n $ pode ser 0, 1 ou 2, as possíveis valores de $ J_z $ são aqueles que, ao serem divididos por 3, dão resto 0, 1 ou 2. Isso significa que $ J_z $ pode ser qualquer inteiro que satisfaça essa condição.
Portanto, os números quânticos magnéticos permitidos para $ J_z $ são:
n é

Resposta

Os números quânticos magnéticos $ J_z $ devem satisfazer $ J_z = 3k $, $ J_z = 3k + 1 $ ou $ J_z = 3k + 2 $, onde $ k $ é um número inteiro. Ou seja, $ J_z $ pode ser qualquer inteiro congruente a 0, 1 ou 2 módulo 3.

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