Um fio retilíneo infinito possui uma densidade linear de carga igual a 5,
. Um próton (massa
, carga
) está a uma distância de 18,0 cm do fio e se desloca radialmente no sentido do fio, com velocidade igual a
. (a) Calcule a energia cinética inicial do próton. Até que distância mínima do fio o próton pode se aproximar?
Passo 1
Vamos resolver um exercício de eletrostática envolvendo um fio carregado e um próton em movimento. Precisamos calcular a energia cinética inicial do próton e determinar a distância mínima que ele pode alcançar em relação ao fio. Para isso, vamos utilizar conceitos de energia cinética, campo elétrico de um fio infinito e conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia cinética inicial (
) do próton. A energia cinética é dada pela fórmula:
onde:
-
é a massa do próton, -
é a velocidade do próton.
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos considerar o campo elétrico (
) gerado por um fio retilíneo infinito com densidade linear de carga
. A expressão para o campo elétrico a uma distância
do fio é:
onde
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
A energia potencial elétrica (
) de um próton em um campo elétrico é dada por:
Para um fio infinito, o potencial elétrico (
) a uma distância
é:
onde
é uma referência que podemos cancelar na diferença de potenciais.
Então, a energia potencial inicial (
) do próton a uma distância
é:
Passo 5
Aplicando a conservação de energia, a energia cinética inicial mais a energia potencial inicial será igual à energia potencial final quando o próton chega à distância mínima
(onde a energia cinética será zero):
Simplificando, temos:
Resolvendo para
:
Substituindo os valores:
Calculando o expoente:
Resposta
A energia cinética inicial do próton é aproximadamente
e a distância mínima que o próton pode se aproximar do fio é de cerca de
.