Um fio retilíneo infinito possui uma densidade linear de carga igual a 5, 00 times 10^-12 C / m. Um próton (massa 1,67 times 10^-27 kg, carga +1,60 times 10^-19 C ) está a uma distância de 18,0 cm do fio e se desloca radialmente no sentido do fio, com velocidade igual a 3,50 times 10^3 m / s. (a) Calcule a energia cinética inicial do próton. Até que distância mínima do fio o próton pode se aproximar?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletrostática envolvendo um fio carregado e um próton em movimento. Precisamos calcular a energia cinética inicial do próton e determinar a distância mínima que ele pode alcançar em relação ao fio. Para isso, vamos utilizar conceitos de energia cinética, campo elétrico de um fio infinito e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia cinética inicial ( Ek = 12 m v^2 ) do próton. A energia cinética é dada pela fórmula:
Ek = 12 times 1,67 times 10^-27, kg times (3,50 times 10^3, m/s)^2
onde:
  • Ek = 12 times 1,67 times 10^-27 times 1,225 times 10^7 é a massa do próton,
  • Ek = 1,021875 times 10^-20, J é a velocidade do próton.
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos considerar o campo elétrico ( E = lambda2 pi varepsilon0 r ) gerado por um fio retilíneo infinito com densidade linear de carga . A expressão para o campo elétrico a uma distância do fio é:
onde é a permissividade do vácuo.

Passo 4

A energia potencial elétrica ( U = q V ) de um próton em um campo elétrico é dada por:
V = lambda2 pi varepsilon0 ln(rr0)
Para um fio infinito, o potencial elétrico ( Ui = q lambda2 pi varepsilon0 ln(rir0) ) a uma distância é:
onde é uma referência que podemos cancelar na diferença de potenciais.
Então, a energia potencial inicial ( ) do próton a uma distância é:

Passo 5

Aplicando a conservação de energia, a energia cinética inicial mais a energia potencial inicial será igual à energia potencial final quando o próton chega à distância mínima Ek + Ui = Uf (onde a energia cinética será zero):
Ek + q lambda2 pi varepsilon0 ln(rir0) = q lambda2 pi varepsilon0 ln(rminr0)
Ek = q lambda2 pi varepsilon0 ln(rminri)
Simplificando, temos:
ln(rmin0,18) = 2 pi varepsilon0 Ekq lambda
Resolvendo para rmin0,18 = exp(2 pi varepsilon0 Ekq lambda) :
rmin = 0,18 times exp(2 pi varepsilon0 Ekq lambda)
rmin = 0,18 times exp(2 pi times 8,85 times 10^-12, C^2/(N cdot m^2) times 1,021875 times 10^-20, J1,60 times 10^-19, C times 5,00 times 10^-12, C/m)
rmin approx 0,18 times exp(2 pi times 8,85 times 10^-12 times 1,021875 times 10^-208,00 times 10^-31)
Substituindo os valores:
2 pi times 8,85 times 10^-12 times 1,021875 times 10^-208,00 times 10^-31 approx 7,12 times 10^-1
rmin approx 0,18 times e^0,712 approx 0,18 times 2,037 approx 0,366, m
Calculando o expoente:

Resposta

A energia cinética inicial do próton é aproximadamente e a distância mínima que o próton pode se aproximar do fio é de cerca de .

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