Um fio uniformemente carregada de comprimento
tem a forma de um semicírculo. O fio tem uma carga total de
Encontre a magnitude, direção e sentido do campo elétrico em O , o centro do semicírculo. Use
e
. Dê a resposta em N/C.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um fio carregado que tem a forma de um semicírculo e queremos encontrar o campo elétrico no centro desse semicírculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico devido a uma distribuição de carga. Vamos usar a fórmula do campo elétrico para uma carga pontual e adaptá-la para o nosso caso com o semicírculo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a densidade de carga linear do fio, que é a carga por unidade de comprimento. A densidade de carga linear, representada por λ, é calculada dividindo a carga total
pelo comprimento total
do fio:
Substituindo os valores fornecidos:
Passo 3
Agora, vamos considerar um elemento infinitesimal de comprimento
no semicírculo que possui uma carga
. Esse pequeno segmento de carga cria um campo elétrico
no ponto O, o centro do semicírculo.
Devido à simetria do semicírculo, os componentes horizontais dos campos elétricos de elementos opostos se cancelam, e apenas os componentes verticais se somam. Portanto, podemos focar apenas na componente vertical do campo.
Passo 4
A componente vertical do campo elétrico criado por
é dada por:
Onde
é o ângulo que o elemento
faz com a horizontal. Para um semicírculo,
varia de 0 a
radianos.
Substituindo
e sabendo que em um semicírculo, o raio
, temos:
Como
, substituímos:
Passo 5
Agora, vamos integrar
de
a
para encontrar o campo elétrico total
:
A integral de
de
a
é 2, então:
Substituindo
,
, e
:
Então:
Resposta
A magnitude do campo elétrico no ponto O é aproximadamente
. A direção do campo é para dentro do semicírculo (na direção do centro) e o sentido é para baixo, devido à carga negativa presente no fio.