Um fio uniformemente carregada de comprimento I=9,73 e-02 m tem a forma de um semicírculo. O fio tem uma carga total de q=-6,55 e-06 C Encontre a magnitude, direção e sentido do campo elétrico em O , o centro do semicírculo. Use k=8.99 times 10^9 N m^2 / C^2 e pi=3,14. Dê a resposta em N/C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um fio carregado que tem a forma de um semicírculo e queremos encontrar o campo elétrico no centro desse semicírculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico devido a uma distribuição de carga. Vamos usar a fórmula do campo elétrico para uma carga pontual e adaptá-la para o nosso caso com o semicírculo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a densidade de carga linear do fio, que é a carga por unidade de comprimento. A densidade de carga linear, representada por λ, é calculada dividindo a carga total lambda = qL pelo comprimento total lambda = -6,55 times 10^-6 C9,73 times 10^-2 m approx -6,73 times 10^-5 C/m do fio:
Substituindo os valores fornecidos:

Passo 3

Agora, vamos considerar um elemento infinitesimal de comprimento no semicírculo que possui uma carga . Esse pequeno segmento de carga cria um campo elétrico no ponto O, o centro do semicírculo.
Devido à simetria do semicírculo, os componentes horizontais dos campos elétricos de elementos opostos se cancelam, e apenas os componentes verticais se somam. Portanto, podemos focar apenas na componente vertical do campo.

Passo 4

A componente vertical do campo elétrico criado por dEy = dE cdot sintheta é dada por:
dEy = k, lambda, dlr^2 cdot sintheta
Onde dEy = k, lambda, r, dthetar^2 cdot sintheta = k, lambdar cdot sintheta, dtheta é o ângulo que o elemento faz com a horizontal. Para um semicírculo, varia de 0 a radianos.
Substituindo e sabendo que em um semicírculo, o raio , temos:
Como , substituímos:

Passo 5

Agora, vamos integrar Ey = integral0^pi k, lambdar cdot sintheta, dtheta de Ey = k, lambdar cdot 2 = 2k, lambdar a r = 9,73 times 10^-23,14 approx 3,10 times 10^-2 m para encontrar o campo elétrico total Ey = 2 times 8,99 times 10^9 times (-6,73 times 10^-5)3,10 times 10^-2 approx -3,90 times 10^5 N/C :
A integral de de a é 2, então:
Substituindo , , e :
Então:

Resposta

A magnitude do campo elétrico no ponto O é aproximadamente . A direção do campo é para dentro do semicírculo (na direção do centro) e o sentido é para baixo, devido à carga negativa presente no fio.

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