Em Física, define-se a quantidade de movimento angular (momento angular), L, de um corpo que gira com velocidade angular constante omega em torno de um eixo como sendo L=I omega, em que I é uma grandeza denominada momento de inércia, que depende da massa do corpo e de como ela está distribuída em torno do eixo de rotação. Para um disco de massa M e raio R, o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular a ele, passando pelo seu centro, é dado por I=12 M R^2. Considere um disco como esse, de raio 10 cm , girando com frequência de 0,5 Hz.
Responda:
a) Quantas voltas serão dadas em 15 segundos por um outro disco que possui a mesma massa do primeiro disco e metade do seu raio, tendo, porém, o mesmo momento angular?
b) Se os dois discos forem fabricados do mesmo material, qual a diferença entre eles além dos raios?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Física que trata do momento angular. O enunciado fala sobre dois discos com certas características e pede para a gente descobrir algumas coisas sobre eles. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas do momento angular e entender como o momento de inércia funciona para discos. Vamos dividir a resolução em partes para ficar bem tranquilo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do momento angular:
L = I cdot omega
Onde:
  • $ L $ é o momento angular,
  • $ I $ é o momento de inércia,
  • $ \omega $ é a velocidade angular.
Para um disco, o momento de inércia é dado por:
L
Onde:
  • $ M $ é a massa do disco,
  • $ R $ é o raio.

Passo 3

Vamos analisar o primeiro disco:
  • Raio $ R_1 = 10 $ cm = 0,1 m,
  • Massa $ M $,
  • Frequência de rotação $ f_1 = 0,5 $ Hz.
A velocidade angular $ \omega $ está relacionada com a frequência pela fórmula:
R1 = 10
Então, para o primeiro disco:
M

Passo 4

Calculando o momento de inércia do primeiro disco:
I1 = 12 M R1^2 = 12 M (0,1)^2 = 12 M cdot 0,01 = 0,005 M , kgcdotm^2

Passo 5

Agora, calculando o momento angular do primeiro disco:
L1 = I1 cdot omega1 = 0,005 M cdot pi = 0,005pi M , kgcdotm^2/s

Passo 6

Vamos para o segundo disco:
  • Mesma massa $ M $,
  • Raio $ R_2 = \frac{R_1}{2} = 5 $ cm = 0,05 m,
  • Mesmo momento angular $ L_2 = L_1 $.
Queremos descobrir quantas voltas ele dá em 15 segundos.

Passo 7

Primeiro, calculamos o momento de inércia do segundo disco:
I2 = 12 M R2^2 = 12 M (0,05)^2 = 12 M cdot 0,0025 = 0,00125 M , kgcdotm^2

Passo 8

Como o momento angular é o mesmo:
L1 = L2 Rightarrow I1 cdot omega1 = I2 cdot omega2
Substituindo os valores:
0,005pi M = 0,00125 M cdot omega2
Observamos que $ M $ cancela dos dois lados:
M
Resolvendo para $ \omega_2 $:
0,005pi = 0,00125 omega2

Passo 9

Agora, encontramos a frequência do segundo disco:
omega2 = 2pi f2 Rightarrow f2 = omega22pi = 4pi2pi = 2 , Hz

Passo 10

Para saber quantas voltas ele dá em 15 segundos:
Número de voú

Resposta

a) O segundo disco dará 30 voltas em 15 segundos.

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