Em Física, define-se a quantidade de movimento angular (momento angular), L, de um corpo que gira com velocidade angular constante
torno de um eixo como sendo
, em que I é uma grandeza denominada momento de inércia, que depende da massa do corpo e de como ela está distribuída em torno do eixo de rotação. Para um disco de massa
e raio
, o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular a ele, passando pelo seu centro, é dado por
. Considere um disco como esse, de raio 10 cm , girando com frequência de
.
Responda:
a) Quantas voltas serão dadas em 15 segundos por um outro disco que possui a mesma massa do primeiro disco e metade do seu raio, tendo, porém, o mesmo momento angular?
b) Se os dois discos forem fabricados do mesmo material, qual a diferença entre eles além dos raios?
Responda:
a) Quantas voltas serão dadas em 15 segundos por um outro disco que possui a mesma massa do primeiro disco e metade do seu raio, tendo, porém, o mesmo momento angular?
b) Se os dois discos forem fabricados do mesmo material, qual a diferença entre eles além dos raios?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Física que trata do momento angular. O enunciado fala sobre dois discos com certas características e pede para a gente descobrir algumas coisas sobre eles. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas do momento angular e entender como o momento de inércia funciona para discos. Vamos dividir a resolução em partes para ficar bem tranquilo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do momento angular:
Onde:
- $ L $ é o momento angular,
- $ I $ é o momento de inércia,
- $ \omega $ é a velocidade angular.
Para um disco, o momento de inércia é dado por:
Onde:
- $ M $ é a massa do disco,
- $ R $ é o raio.
Passo 3
Vamos analisar o primeiro disco:
- Raio $ R_1 = 10 $ cm = 0,1 m,
- Massa $ M $,
- Frequência de rotação $ f_1 = 0,5 $ Hz.
A velocidade angular $ \omega $ está relacionada com a frequência pela fórmula:
Então, para o primeiro disco:
Passo 4
Calculando o momento de inércia do primeiro disco:
Passo 5
Agora, calculando o momento angular do primeiro disco:
Passo 6
Vamos para o segundo disco:
- Mesma massa $ M $,
- Raio $ R_2 = \frac{R_1}{2} = 5 $ cm = 0,05 m,
- Mesmo momento angular $ L_2 = L_1 $.
Queremos descobrir quantas voltas ele dá em 15 segundos.
Passo 7
Primeiro, calculamos o momento de inércia do segundo disco:
Passo 8
Como o momento angular é o mesmo:
Substituindo os valores:
Observamos que $ M $ cancela dos dois lados:
Resolvendo para $ \omega_2 $:
Passo 9
Agora, encontramos a frequência do segundo disco:
Passo 10
Para saber quantas voltas ele dá em 15 segundos:
Resposta
a) O segundo disco dará 30 voltas em 15 segundos.