Uma membrana horizontal oscila harmonicamente ao longo de um eixo vertical com uma frequência angular igual a
. Determine a amplitude das oscilaçōes caso um grão de areia que esteja sobre a membrana, ao saltar da mesma, atinja uma altura máxima de H em relação à posição de equilibrio da membrana.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma membrana que está oscilando para cima e para baixo de forma harmônica com uma frequência angular
. Um grão de areia está sobre essa membrana e, quando ele “pula” da membrana, atinge uma altura máxima
em relação à posição de equilíbrio. Nosso objetivo é descobrir qual é a amplitude dessas oscilações da membrana.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples e cinemática básica, especialmente as relações entre velocidade, altura e aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a amplitude da oscilação e a velocidade máxima da membrana. No movimento harmônico simples, a velocidade máxima (
) que um objeto atinge é dada por:
Aqui,
é a amplitude das oscilações e
é a frequência angular da membrana.
Passo 3
Quando o grão de areia “pula” da membrana, ele tem essa velocidade máxima para cima. Depois que ele deixa a membrana, ele sobe até a altura máxima
até que sua velocidade chegue a zero. Podemos usar a equação de conservação de energia ou a cinemática para relacionar essa velocidade inicial com a altura alcançada.
Vamos utilizar a equação de conservação de energia. A energia cinética inicial do grão de areia quando ele deixa a membrana é totalmente convertida em energia potencial gravitacional na altura máxima
:
Onde:
-
é a massa do grão de areia, -
é a aceleração da gravidade.
Perceba que a massa
cancela dos dois lados da equação.
Passo 4
Vamos substituir
pela expressão que encontramos no Passo 2:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação acima para encontrar a amplitude
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Dividindo ambos os lados por
:
E, finalmente, tirando a raiz quadrada para encontrar
:
Resposta
A amplitude das oscilações da membrana é: