Uma membrana horizontal oscila harmonicamente ao longo de um eixo vertical com uma frequência angular igual a omega. Determine a amplitude das oscilaçōes caso um grão de areia que esteja sobre a membrana, ao saltar da mesma, atinja uma altura máxima de H em relação à posição de equilibrio da membrana.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma membrana que está oscilando para cima e para baixo de forma harmônica com uma frequência angular omega. Um grão de areia está sobre essa membrana e, quando ele “pula” da membrana, atinge uma altura máxima H em relação à posição de equilíbrio. Nosso objetivo é descobrir qual é a amplitude dessas oscilações da membrana.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples e cinemática básica, especialmente as relações entre velocidade, altura e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a amplitude da oscilação e a velocidade máxima da membrana. No movimento harmônico simples, a velocidade máxima ( vmáxá) que um objeto atinge é dada por:
vmáx = omega A á
Aqui, A é a amplitude das oscilações e omega é a frequência angular da membrana.

Passo 3

Quando o grão de areia “pula” da membrana, ele tem essa velocidade máxima para cima. Depois que ele deixa a membrana, ele sobe até a altura máxima H até que sua velocidade chegue a zero. Podemos usar a equação de conservação de energia ou a cinemática para relacionar essa velocidade inicial com a altura alcançada.
Vamos utilizar a equação de conservação de energia. A energia cinética inicial do grão de areia quando ele deixa a membrana é totalmente convertida em energia potencial gravitacional na altura máxima H:
12 m vmáx^2 = m g H á
Onde:
  • m é a massa do grão de areia,
  • g é a aceleração da gravidade.
Perceba que a massa m cancela dos dois lados da equação.

Passo 4

Vamos substituir vmáxá pela expressão que encontramos no Passo 2:
12 (omega A)^2 = g H
Isso simplifica para:
12 omega^2 A^2 = g H

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação acima para encontrar a amplitude A:
Multiplicando ambos os lados por 2:
omega^2 A^2 = 2 g H
Dividindo ambos os lados por omega^2:
A^2 = 2 g Homega^2
E, finalmente, tirando a raiz quadrada para encontrar A:
A = raiz2 g Homega^2 = raiz2 g Homega

Resposta

A amplitude das oscilações da membrana é:
A = raiz2 g Homega

Exercícios relacionados