Uma partícula em movimento circular uniformemente variado tem sua velocidade angular alterada de 2 pi rad / s para 10 pi rad / s durante 2 0 s. Calcule o número de voltas que a partícula efetua nesse intervalo de tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que está girando com velocidade angular variando de para em um intervalo de 20 segundos. Nosso objetivo é descobrir quantas voltas essa partícula dá nesse período. Para isso, vamos usar conceitos de movimento circular uniformemente variado, que envolve velocidade angular, aceleração angular e o número de voltas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é movimento circular uniformemente variado. Nesse tipo de movimento, a velocidade angular da partícula não permanece constante, mas muda de forma uniforme ao longo do tempo. A taxa dessa mudança é chamada de aceleração angular ( ).

Passo 3

Vamos identificar os dados do problema:
  • Velocidade angular inicial ( ):
  • Velocidade angular final ( ):
  • Tempo ( ): 20 segundos

Passo 4

Primeiro, precisamos calcular a aceleração angular ( alpha = omegaf - omega0t ). A aceleração angular é dada pela variação da velocidade angular dividida pelo tempo:
alpha = 10pi - 2pi20 = 8pi20 = 2pi5 , rad/s^2
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos calcular o ângulo total ( theta = omega0 t + 12 alpha t^2 ) percorrido pela partícula durante esses 20 segundos. A fórmula para o ângulo em movimento circular uniformemente variado é:
theta = 2pi times 20 + 12 times 2pi5 times (20)^2
Substituindo os valores que já temos:
theta = 40pi + 12 times 2pi5 times 400
theta = 40pi + 2pi5 times 200
theta = 40pi + 80pi = 120pi , rad

Passo 6

Para encontrar o número de voltas ( N = theta2pi ), vamos dividir o ângulo total percorrido pelo ângulo de uma volta completa ( N = 120pi2pi = 60 ):
Substituindo:

Resposta

A partícula efetua 60 voltas nesse intervalo de 20 segundos.

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