Em Física, o tempo de Planck, (tP), é a unidade de tempo no sistema de unidades naturais, conhecidos como Unidades de Planck. Ele é o tempo requerido para que a luz viaje, no vácuo, uma distância de 1 comprimento de Planck ( lP ), que desempenha uma função importante na Física moderna, pois para comprimentos inferiores a este, tanto a Mecânica Quântica, como a Relatividade Geral deixam de conseguir descrever os comportamentos de partículas. Espaços inferiores ao comprimento de Planck têm sido alvo de exaustiva investigação na busca de uma teoria unificadora da relatividade com a mecânica quântica. Tais unidades são obtidas a partir de 5 constantes universais, c, G, hbar, ke e kB, e eliminam qualquer arbitrariedade antropocêntrica na escolha do sistema de unidades, de modo que seriam o conjunto de unidades ideal para se explicar a física que sabemos para qualquer ser extra-terrestre. Mostre que (a) lptp=c, e (b) mp tp=hbarc^2, sendo mp a massa de Planck.

Passo 1

Resumo da Questão e Conteúdo Necessário
Vamos resolver um exercício sobre as Unidades de Planck na Física. O enunciado pede para mostrarmos duas relações envolvendo o comprimento de Planck ( lp), o tempo de Planck ( tp) e a massa de Planck ( mp). Para isso, vamos precisar das definições dessas unidades em termos das constantes universais: a velocidade da luz ( c), a constante gravitacional ( G), e a constante de Planck reduzida ( hbar). Vamos lá, passo a passo!

Passo 2

Mostrando que lp
Primeiro, vamos lembrar como se definem o comprimento de Planck ( tp) e o tempo de Planck ( lp = raizhbar Gc^3 ):
tp = lpc = raizhbar Gc^5
lptp = raizhbar Gc^3raizhbar Gc^5
Agora, vamos calcular lptp = raizhbar Gc^3hbar Gc^5 = raizc^5c^3 = raizc^2 = c :
Simplificando a divisão dentro das raízes:
Então, mostramos que .

Passo 3

Mostrando que mp
Primeiro, precisamos da definição da massa de Planck ( mp = raizhbar cG ):
tp
Já sabemos que o tempo de Planck ( tp = raizhbar Gc^5 ) é:
mp
Agora, vamos multiplicar tp por mp tp = raizhbar cG times raizhbar Gc^5 = raizhbar cG times hbar Gc^5 = raizhbar^2c^4 = hbarc^2 :
Portanto, mostramos que .

Resposta

(a)
(b)

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