Em Física, o tempo de Planck, , é a unidade de tempo no sistema de unidades naturais, conhecidos como Unidades de Planck. Ele é o tempo requerido para que a luz viaje, no vácuo, uma distância de 1 comprimento de Planck ( ), que desempenha uma função importante na Física moderna, pois para comprimentos inferiores a este, tanto a Mecânica Quântica, como a Relatividade Geral deixam de conseguir descrever os comportamentos de partículas. Espaços inferiores ao comprimento de Planck têm sido alvo de exaustiva investigação na busca de uma teoria unificadora da relatividade com a mecânica quântica. Tais unidades são obtidas a partir de 5 constantes universais, e , e eliminam qualquer arbitrariedade antropocêntrica na escolha do sistema de unidades, de modo que seriam o conjunto de unidades ideal para se explicar a física que sabemos para qualquer ser extra-terrestre. Mostre que (a) , e (b) , sendo a massa de Planck.

Passo 1

Resumo da Questão e Conteúdo Necessário
Vamos resolver um exercício sobre as Unidades de Planck na Física. O enunciado pede para mostrarmos duas relações envolvendo o comprimento de Planck ( ), o tempo de Planck ( ) e a massa de Planck ( ). Para isso, vamos precisar das definições dessas unidades em termos das constantes universais: a velocidade da luz ( ), a constante gravitacional ( ), e a constante de Planck reduzida ( ). Vamos lá, passo a passo!

Passo 2

Mostrando que
Primeiro, vamos lembrar como se definem o comprimento de Planck ( ) e o tempo de Planck ( ):
Agora, vamos calcular :
Simplificando a divisão dentro das raízes:
Então, mostramos que .

Passo 3

Mostrando que
Primeiro, precisamos da definição da massa de Planck ( ):
Já sabemos que o tempo de Planck ( ) é:
Agora, vamos multiplicar por :
Portanto, mostramos que .

Resposta

(a)
(b)

Exercícios relacionados

1
Usando o princípio de incerteza de Heisenberg (a) estime o valor do raio e a energia do estado fundamental do átomo de Hidrogênio e (b) o valor da energia de uma molécula diatômica, que pode ser aproximada para um oscilador harmônico de frequência e massa reduzida .
Em um de íon um elétron está em um nível de energia que tem o mesmo raio orbital do estado fundamental do átomo de Hidrogênio. Qual o nível do elétron no íon ?
Usando o modelo atômico de Bohr, calcule os raios das órbitas permitidas e os níveis de energia de um átomo de núcleo de carga e massa orbitado por um elétron de carga e massa , considerando que o sistema orbite em torno do centro de massa.
Qual a incerteza na posição de um elétron de massa de repouso e velocidade ? Discuta os casos em que e .