Usando o modelo atômico de Bohr, calcule os raios das órbitas permitidas e os níveis de energia de um átomo de núcleo de carga Z e e massa M orbitado por um elétron de carga -e e massa m, considerando que o sistema orbite em torno do centro de massa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o modelo atômico de Bohr para calcular os raios das órbitas permitidas e os níveis de energia de um átomo. Nesse caso, temos um núcleo com carga e massa , e um elétron com carga e massa orbitando ao redor do centro de massa. Vamos precisar das fórmulas do modelo de Bohr, além de considerar o movimento relativo entre o núcleo e o elétron, usando a massa reduzida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no modelo de Bohr, os elétrons orbitam em órbitas circulares com energia quantizada. A posição do centro de massa é importante aqui porque tanto o núcleo quanto o elétron orbitam em torno desse ponto. Para simplificar, usamos a massa reduzida mu = m Mm + M , que é dada por:
Isso facilita os cálculos, já que tratamos o sistema como se fosse uma única partícula de massa orbitando o centro de massa.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula do raio das órbitas de Bohr. Ela é:
rn = 4 pi varepsilon0 hbar^2mu Z e^2 n^2
onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • é a constante de Planck reduzida,
  • é o número quântico principal (1, 2, 3, …).

Passo 4

Para a energia dos níveis, a fórmula de Bohr é:
En = -mu Z^2 e^48 varepsilon0^2 h^2 n^2
Aqui, é a constante de Planck. A energia é negativa, indicando que o elétron está ligado ao núcleo.

Passo 5

Agora, vamos resumir tudo. Usando a massa reduzida , já consideramos o fato de que ambos, núcleo e elétron, estão em movimento ao redor do centro de massa. Substituindo nas fórmulas do raio e da energia, conseguimos expressar os valores para o sistema completo.

Resposta

Portanto, os raios das órbitas permitidas são dados por:
rn = 4 pi varepsilon0 hbar^2mu Z e^2 n^2
e os níveis de energia são:
En = -mu Z^2 e^48 varepsilon0^2 h^2 n^2
onde é a massa reduzida do sistema.

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