Usando o modelo atômico de Bohr, calcule os raios das órbitas permitidas e os níveis de energia de um átomo de núcleo de carga
e massa
orbitado por um elétron de carga
e massa
, considerando que o sistema orbite em torno do centro de massa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o modelo atômico de Bohr para calcular os raios das órbitas permitidas e os níveis de energia de um átomo. Nesse caso, temos um núcleo com carga
e massa
, e um elétron com carga
e massa
orbitando ao redor do centro de massa. Vamos precisar das fórmulas do modelo de Bohr, além de considerar o movimento relativo entre o núcleo e o elétron, usando a massa reduzida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no modelo de Bohr, os elétrons orbitam em órbitas circulares com energia quantizada. A posição do centro de massa é importante aqui porque tanto o núcleo quanto o elétron orbitam em torno desse ponto. Para simplificar, usamos a massa reduzida
, que é dada por:
Isso facilita os cálculos, já que tratamos o sistema como se fosse uma única partícula de massa
orbitando o centro de massa.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula do raio das órbitas de Bohr. Ela é:
onde:
-
é a permissividade do vácuo, -
é a constante de Planck reduzida, -
é o número quântico principal (1, 2, 3, …).
Passo 4
Para a energia dos níveis, a fórmula de Bohr é:
Aqui,
é a constante de Planck. A energia é negativa, indicando que o elétron está ligado ao núcleo.
Passo 5
Agora, vamos resumir tudo. Usando a massa reduzida
, já consideramos o fato de que ambos, núcleo e elétron, estão em movimento ao redor do centro de massa. Substituindo
nas fórmulas do raio e da energia, conseguimos expressar os valores para o sistema completo.
Resposta
Portanto, os raios das órbitas permitidas são dados por:
e os níveis de energia são:
onde
é a massa reduzida do sistema.