Em um de íon B e^3+ um elétron está em um nível de energia que tem o mesmo raio orbital do estado fundamental do átomo de Hidrogênio. Qual o nível n do elétron no íon B e^3+ ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos deu um problema onde precisamos descobrir o nível de energia de um elétron no íon que tem o mesmo raio orbital que o estado fundamental do átomo de Hidrogênio. Vamos precisar entender um pouquinho sobre a estrutura dos átomos e como calcular o raio de órbita dos elétrons nesses sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que no modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio, o raio da órbita do elétron no estado fundamental (quando rn = n^2 cdot a0Z ) é conhecido como o raio de Bohr, denotado por . A fórmula para o raio da órbita de um elétron em um átomo de Hidrogênio-like (como o ) é dada por:
Onde:
  • é o raio da órbita no nível
  • é o número quântico principal
  • é o raio de Bohr
  • é o número atômico (número de prótons no núcleo)

Passo 3

No átomo de Hidrogênio, que tem r1 = 1^2 cdot a01 = a0 , o raio no estado fundamental ( ) é simplesmente:
Esse é o raio que queremos igualar ao raio da órbita no íon .

Passo 4

Para o íon rn = n^2 cdot a05 = a0 , o número atômico é 5 (pois o boro tem 5 prótons). Queremos que o raio da órbita desse íon no nível seja igual a . Então, usamos a fórmula:

Passo 5

Agora, vamos resolver para n^2 cdot a05 = a0 :
n^25 = 1
Podemos cancelar n^2 = 5 dos dois lados:
n = raiz5 approx 2,236
Multiplicando ambos os lados por 5:
Tomando a raiz quadrada:

Passo 6

No entanto, o número quântico principal deve ser um número inteiro positivo (1, 2, 3, …). O valor aproximado de 2,236 sugere que não existe um nível de energia inteiro que satisfaça exatamente a condição dada. Portanto, na prática, não há um nível de energia inteiro no íon cujo raio orbital seja exatamente igual ao do estado fundamental do Hidrogênio.

Resposta

Não existe um nível de energia inteiro no íon que tenha o mesmo raio orbital que o estado fundamental do átomo de Hidrogênio.

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