Em um de íon
um elétron está em um nível de energia que tem o mesmo raio orbital do estado fundamental do átomo de Hidrogênio. Qual o nível
do elétron no íon
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você nos deu um problema onde precisamos descobrir o nível de energia
de um elétron no íon
que tem o mesmo raio orbital que o estado fundamental do átomo de Hidrogênio. Vamos precisar entender um pouquinho sobre a estrutura dos átomos e como calcular o raio de órbita dos elétrons nesses sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que no modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio, o raio da órbita do elétron no estado fundamental (quando
) é conhecido como o raio de Bohr, denotado por
. A fórmula para o raio da órbita de um elétron em um átomo de Hidrogênio-like (como o
) é dada por:
Onde:
-
é o raio da órbita no nível -
é o número quântico principal -
é o raio de Bohr -
é o número atômico (número de prótons no núcleo)
Passo 3
No átomo de Hidrogênio, que tem
, o raio no estado fundamental (
) é simplesmente:
Esse é o raio que queremos igualar ao raio da órbita no íon
.
Passo 4
Para o íon
, o número atômico
é 5 (pois o boro tem 5 prótons). Queremos que o raio da órbita desse íon no nível
seja igual a
. Então, usamos a fórmula:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Podemos cancelar
dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 5:
Tomando a raiz quadrada:
Passo 6
No entanto, o número quântico principal
deve ser um número inteiro positivo (1, 2, 3, …). O valor aproximado de 2,236 sugere que não existe um nível de energia inteiro que satisfaça exatamente a condição dada. Portanto, na prática, não há um nível de energia inteiro
no íon
cujo raio orbital seja exatamente igual ao do estado fundamental do Hidrogênio.
Resposta
Não existe um nível de energia inteiro
no íon
que tenha o mesmo raio orbital que o estado fundamental do átomo de Hidrogênio.
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O raio do horizonte de eventos de um buraco negro é o conhecido raio de Schwarszchild, que é o raio para o qual a velocidade de escape,
considerando um buraco negro de massa , é a velocidade da luz,
.
(a) Determine o raio de Schwarszchild.
(b) Determine a temperatura da radiação para um buraco de Schwarschild usando argumentos de análise dimensional em termos da massa do buraco e do conjunto de constantes fundamentais
e
, sabendo que a temperatura é inversamente proporcional à massa
. (Nota: a constante adimensional pode ser feita
).
© Mostre que a entropia de um buraco negro de Schwarschild satisfaz a relação
O raio do horizonte de eventos de um buraco negro é o conhecido raio de Schwarszchild, que é o raio para o qual a velocidade de escape,
considerando um buraco negro de massa
(a) Determine o raio de Schwarszchild.
(b) Determine a temperatura da radiação para um buraco de Schwarschild usando argumentos de análise dimensional em termos da massa
© Mostre que a entropia de um buraco negro de Schwarschild satisfaz a relação
(d) Fazendo a constante de integração igual a zero, mostre que a entropia de um buraco negro de Schwarschild é proporcional à área do horizonte de eventos e inversamente proporcional ao quadrado do comprimento de Planck,
.
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está sujeita a um potencial unidimensional na forma
, sendo
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1
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.
Usando o princípio de incerteza de Heisenberg (a) estime o valor do raio e a energia do estado fundamental do átomo de Hidrogênio e (b) o valor da energia de uma molécula diatômica, que pode ser aproximada para um oscilador harmônico de frequência
Em Física, o tempo de Planck,
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, e (b)
, sendo
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