1
Usando o princípio de incerteza de Heisenberg (a) estime o valor do raio e a energia do estado fundamental do átomo de Hidrogênio e (b) o valor da energia de uma molécula diatômica, que pode ser aproximada para um oscilador harmônico de frequência
e massa reduzida
.
Usando o princípio de incerteza de Heisenberg (a) estime o valor do raio e a energia do estado fundamental do átomo de Hidrogênio e (b) o valor da energia de uma molécula diatômica, que pode ser aproximada para um oscilador harmônico de frequência
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar o princípio da incerteza de Heisenberg. A gente vai calcular duas coisas: (a) o raio e a energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio e (b) a energia de uma molécula diatômica quando ela é aproximada como um oscilador harmônico com frequência
e massa reduzida
. Para isso, vamos precisar entender como o princípio da incerteza funciona e aplicar algumas fisicas básicas.
Passo 2
Parte (a): Raio e Energia do Estado Fundamental do Átomo de Hidrogênio
Primeiro, vamos aplicar o princípio da incerteza de Heisenberg, que basicamente diz que a incerteza na posição (
) e na quantidade de movimento (
) de uma partícula não podem ser ambas muito pequenas ao mesmo tempo. A relação é dada por:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida.
Vamos assumir que a incerteza na posição
é aproximadamente o raio do átomo de hidrogênio
. Assim:
A energia total do elétron no átomo é a soma da energia cinética (
) e da energia potencial (
). A energia cinética pode ser estimada como:
Onde
é a massa do elétron.
A energia potencial devido à atração eletrostática entre o elétron e o próton é:
Onde
é a carga do elétron e
é a permissividade do vácuo.
A energia total
é então:
Para encontrar o valor mínimo de energia, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo para
, encontramos:
Essa expressão nos dá uma estimativa do raio de Bohr para o átomo de hidrogênio.
Para a energia, substituímos
de volta na expressão de
:
Essa é a energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio.
Passo 3
Parte (b): Energia de uma Molécula Diatômica como Oscilador Harmônico
Agora, vamos estimar a energia de uma molécula diatômica que pode ser modelada como um oscilador harmônico. A energia total nesse caso também é a soma da energia cinética e da energia potencial.
A energia cinética é:
E a energia potencial é:
Aplicando o princípio da incerteza:
Vamos novamente assumir
como a incerteza na posição e resolver para
:
Substituindo na energia cinética:
A energia total
é:
Para encontrar a energia mínima, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo para
:
Substituindo de volta na expressão de
:
Essa é a energia do estado fundamental do oscilador harmônico, que representa a energia da molécula diatômica.
Resposta
(a) O raio do átomo de hidrogênio é aproximadamente
e a energia do estado fundamental é
.
(b) A energia da molécula diatômica aproximada como oscilador harmônico é
.