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Usando o princípio de incerteza de Heisenberg (a) estime o valor do raio e a energia do estado fundamental do átomo de Hidrogênio e (b) o valor da energia de uma molécula diatômica, que pode ser aproximada para um oscilador harmônico de frequência
e massa reduzida
.
Usando o princípio de incerteza de Heisenberg (a) estime o valor do raio e a energia do estado fundamental do átomo de Hidrogênio e (b) o valor da energia de uma molécula diatômica, que pode ser aproximada para um oscilador harmônico de frequência
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar o princípio da incerteza de Heisenberg. A gente vai calcular duas coisas: (a) o raio e a energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio e (b) a energia de uma molécula diatômica quando ela é aproximada como um oscilador harmônico com frequência
e massa reduzida
. Para isso, vamos precisar entender como o princípio da incerteza funciona e aplicar algumas fisicas básicas.
Passo 2
Parte (a): Raio e Energia do Estado Fundamental do Átomo de Hidrogênio
Primeiro, vamos aplicar o princípio da incerteza de Heisenberg, que basicamente diz que a incerteza na posição (
) e na quantidade de movimento (
) de uma partícula não podem ser ambas muito pequenas ao mesmo tempo. A relação é dada por:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida.
Vamos assumir que a incerteza na posição
é aproximadamente o raio do átomo de hidrogênio
. Assim:
A energia total do elétron no átomo é a soma da energia cinética (
) e da energia potencial (
). A energia cinética pode ser estimada como:
Onde
é a massa do elétron.
A energia potencial devido à atração eletrostática entre o elétron e o próton é:
Onde
é a carga do elétron e
é a permissividade do vácuo.
A energia total
é então:
Para encontrar o valor mínimo de energia, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo para
, encontramos:
Essa expressão nos dá uma estimativa do raio de Bohr para o átomo de hidrogênio.
Para a energia, substituímos
de volta na expressão de
:
Essa é a energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio.
Passo 3
Parte (b): Energia de uma Molécula Diatômica como Oscilador Harmônico
Agora, vamos estimar a energia de uma molécula diatômica que pode ser modelada como um oscilador harmônico. A energia total nesse caso também é a soma da energia cinética e da energia potencial.
A energia cinética é:
E a energia potencial é:
Aplicando o princípio da incerteza:
Vamos novamente assumir
como a incerteza na posição e resolver para
:
Substituindo na energia cinética:
A energia total
é:
Para encontrar a energia mínima, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo para
:
Substituindo de volta na expressão de
:
Essa é a energia do estado fundamental do oscilador harmônico, que representa a energia da molécula diatômica.
Resposta
(a) O raio do átomo de hidrogênio é aproximadamente
e a energia do estado fundamental é
.
(b) A energia da molécula diatômica aproximada como oscilador harmônico é
.
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?
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considerando um buraco negro de massa , é a velocidade da luz,
.
(a) Determine o raio de Schwarszchild.
(b) Determine a temperatura da radiação para um buraco de Schwarschild usando argumentos de análise dimensional em termos da massa do buraco e do conjunto de constantes fundamentais
e
, sabendo que a temperatura é inversamente proporcional à massa
. (Nota: a constante adimensional pode ser feita
).
© Mostre que a entropia de um buraco negro de Schwarschild satisfaz a relação
O raio do horizonte de eventos de um buraco negro é o conhecido raio de Schwarszchild, que é o raio para o qual a velocidade de escape,
considerando um buraco negro de massa
(a) Determine o raio de Schwarszchild.
(b) Determine a temperatura da radiação para um buraco de Schwarschild usando argumentos de análise dimensional em termos da massa
© Mostre que a entropia de um buraco negro de Schwarschild satisfaz a relação
(d) Fazendo a constante de integração igual a zero, mostre que a entropia de um buraco negro de Schwarschild é proporcional à área do horizonte de eventos e inversamente proporcional ao quadrado do comprimento de Planck,
.
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), que desempenha uma função importante na Física moderna, pois para comprimentos inferiores a este, tanto a Mecânica Quântica, como a Relatividade Geral deixam de conseguir descrever os comportamentos de partículas. Espaços inferiores ao comprimento de Planck têm sido alvo de exaustiva investigação na busca de uma teoria unificadora da relatividade com a mecânica quântica. Tais unidades são obtidas a partir de 5 constantes universais,
e
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, e (b)
, sendo
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