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Usando o princípio de incerteza de Heisenberg (a) estime o valor do raio e a energia do estado fundamental do átomo de Hidrogênio e (b) o valor da energia de uma molécula diatômica, que pode ser aproximada para um oscilador harmônico de frequência omega0 e massa reduzida mu.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar o princípio da incerteza de Heisenberg. A gente vai calcular duas coisas: (a) o raio e a energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio e (b) a energia de uma molécula diatômica quando ela é aproximada como um oscilador harmônico com frequência omega0 e massa reduzida mu. Para isso, vamos precisar entender como o princípio da incerteza funciona e aplicar algumas fisicas básicas.

Passo 2

Parte (a): Raio e Energia do Estado Fundamental do Átomo de Hidrogênio

Primeiro, vamos aplicar o princípio da incerteza de Heisenberg, que basicamente diz que a incerteza na posição ( De) e na quantidade de movimento ( De) de uma partícula não podem ser ambas muito pequenas ao mesmo tempo. A relação é dada por:
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida.
Vamos assumir que a incerteza na posição De é aproximadamente o raio do átomo de hidrogênio r. Assim:
A energia total do elétron no átomo é a soma da energia cinética ( T) e da energia potencial ( V). A energia cinética pode ser estimada como:
T approx (De
Onde me é a massa do elétron.
A energia potencial devido à atração eletrostática entre o elétron e o próton é:
V approx -e^24 pi varepsilon0 r
Onde e é a carga do elétron e varepsilon0 é a permissividade do vácuo.
A energia total E é então:
E = T + V = hbar^28 me r^2 - e^24 pi varepsilon0 r
Para encontrar o valor mínimo de energia, derivamos E em relação a r e igualamos a zero:
dEdr = -hbar^24 me r^3 + e^24 pi varepsilon0 r^2 = 0
Resolvendo para r, encontramos:
r approx 4 pi varepsilon0 hbar^2me e^2
Essa expressão nos dá uma estimativa do raio de Bohr para o átomo de hidrogênio.
Para a energia, substituímos r de volta na expressão de E:
E approx -me e^432 pi^2 varepsilon0^2 hbar^2
Essa é a energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio.

Passo 3

Parte (b): Energia de uma Molécula Diatômica como Oscilador Harmônico

Agora, vamos estimar a energia de uma molécula diatômica que pode ser modelada como um oscilador harmônico. A energia total nesse caso também é a soma da energia cinética e da energia potencial.
A energia cinética é:
T approx (De
E a energia potencial é:
V approx 12 mu omega0^2 (De
Aplicando o princípio da incerteza:
Vamos novamente assumir De como a incerteza na posição e resolver para De:
Substituindo na energia cinética:
T approx hbar^28 mu (De
A energia total E é:
E = T + V = hbar^28 mu (De
Para encontrar a energia mínima, derivamos E em relação a De e igualamos a zero:
dEd(De
Resolvendo para De:
De
Substituindo de volta na expressão de E:
E approx 12 hbar omega0
Essa é a energia do estado fundamental do oscilador harmônico, que representa a energia da molécula diatômica.

Resposta

(a) O raio do átomo de hidrogênio é aproximadamente r approx 4 pi varepsilon0 hbar^2me e^2 e a energia do estado fundamental é E approx -me e^432 pi^2 varepsilon0^2 hbar^2.
(b) A energia da molécula diatômica aproximada como oscilador harmônico é E approx 12 hbar omega0.

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