A altura de um helicóptero acima do chão é dada por , onde é dado em metros e em segundos. Em , o helicóptero solta uma pequena bolsa postal. Quanto tempo depois de ser solta a bolsa chega ao chão?

Passo 1

Vamos entender o problema! Um helicóptero está voando e a sua altura em relação ao chão é dada pela fórmula , onde é a altura em metros e é o tempo em segundos. No instante , o helicóptero solta uma bolsa. Queremos descobrir quanto tempo essa bolsa leva para atingir o chão depois de ser solta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a altura do helicóptero no momento em que a bolsa é solta, ou seja, quando . Usando a fórmula dada:
Então, a bolsa é solta de uma altura de 24 metros.

Passo 3

Agora, vamos entender a velocidade da bolsa no momento em que é solta. Isso depende da velocidade do helicóptero nesse instante. Para encontrar a velocidade, precisamos derivar a fórmula da altura em relação ao tempo:
Quando :
Então, a bolsa tem uma velocidade inicial de 36 m/s para cima quando é solta.

Passo 4

Vamos agora modelar o movimento da bolsa após ser solta. A posição da bolsa em função do tempo (a partir do momento da soltura) pode ser descrita pela equação:
Onde:
  • (altura inicial)
  • (velocidade inicial para cima)
  • (aceleração da gravidade)
Queremos encontrar o tempo quando a bolsa atinge o chão, ou seja, quando .

Passo 5

Substituindo os valores na equação:
Simplificando:
Rearranjando:

Passo 6

Agora temos uma equação quadrática na forma , onde:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 7

Calculando o discriminante ( ):
Como , temos duas raízes.

Passo 8

Calculando as raízes:
Isso dá duas soluções:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos .

Resposta

A bolsa leva aproximadamente 7,95 segundos para atingir o chão após ser solta.

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