A altura de um helicóptero acima do chão é dada por
, onde
é dado em metros e
em segundos. Em
, o helicóptero solta uma pequena bolsa postal. Quanto tempo depois de ser solta a bolsa chega ao chão?
Passo 1
Vamos entender o problema! Um helicóptero está voando e a sua altura em relação ao chão é dada pela fórmula
, onde
é a altura em metros e
é o tempo em segundos. No instante
, o helicóptero solta uma bolsa. Queremos descobrir quanto tempo essa bolsa leva para atingir o chão depois de ser solta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a altura do helicóptero no momento em que a bolsa é solta, ou seja, quando
. Usando a fórmula dada:
Então, a bolsa é solta de uma altura de 24 metros.
Passo 3
Agora, vamos entender a velocidade da bolsa no momento em que é solta. Isso depende da velocidade do helicóptero nesse instante. Para encontrar a velocidade, precisamos derivar a fórmula da altura em relação ao tempo:
Quando
:
Então, a bolsa tem uma velocidade inicial de 36 m/s para cima quando é solta.
Passo 4
Vamos agora modelar o movimento da bolsa após ser solta. A posição da bolsa em função do tempo
(a partir do momento da soltura) pode ser descrita pela equação:
Onde:
-
(altura inicial) -
(velocidade inicial para cima) -
(aceleração da gravidade)
Queremos encontrar o tempo
quando a bolsa atinge o chão, ou seja, quando
.
Passo 5
Substituindo os valores na equação:
Simplificando:
Rearranjando:
Passo 6
Agora temos uma equação quadrática na forma
, onde:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 7
Calculando o discriminante (
):
Como
, temos duas raízes.
Passo 8
Calculando as raízes:
Isso dá duas soluções:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos
.
Resposta
A bolsa leva aproximadamente 7,95 segundos para atingir o chão após ser solta.