Um satélite da Terra é observado no perigeu a 250 km acima da sua superfíce e viajando a cerca de
. Determine a excentricidade de sua órbita e sua altitude acima da Terra no apogeu. [Sugestão: o raio da Terra é
. Você necessitará também saber
, mas você pode determinar isso se lembrar que
.]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um satélite que está no perigeu (o ponto mais próximo da Terra) a 250 km acima da superfície terrestre e está se movendo a cerca de
. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas: a excentricidade da órbita desse satélite e a altitude dele no apogeu (o ponto mais distante da Terra). Para isso, vamos usar algumas fórmulas de mecânica orbital e algumas constantes que já foram dadas, como o raio da Terra
. Também vamos precisar do produto
, que podemos encontrar usando a relação
, onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Sabemos que:
Podemos rearranjar essa equação para encontrar
:
Considerando que
e
:
Passo 3
Agora, vamos determinar a distância no perigeu (
). Sabemos que o satélite está a 250 km acima da superfície da Terra, então:
Passo 4
Vamos usar a equação de vis-viva para relacionar a velocidade no perigeu com o semi-eixo maior
da órbita:
Sabemos que
, então podemos reescrever a equação para resolver
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora que temos o semi-eixo maior
, podemos encontrar a excentricidade
usando a relação entre perigeu e apogeu:
Rearranjando para
:
Passo 6
Com a excentricidade
conhecida, podemos encontrar a distância no apogeu
:
Passo 7
Finalmente, para encontrar a altitude no apogeu
, subtraímos o raio da Terra da distância no apogeu:
Convertendo para quilômetros:
Resposta
A excentricidade da órbita do satélite é aproximadamente
e sua altitude no apogeu é de cerca de
acima da superfície da Terra.