Um satélite da Terra é observado no perigeu a 250 km acima da sua superfíce e viajando a cerca de . Determine a excentricidade de sua órbita e sua altitude acima da Terra no apogeu. [Sugestão: o raio da Terra é . Você necessitará também saber , mas você pode determinar isso se lembrar que .]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um satélite que está no perigeu (o ponto mais próximo da Terra) a 250 km acima da superfície terrestre e está se movendo a cerca de . Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas: a excentricidade da órbita desse satélite e a altitude dele no apogeu (o ponto mais distante da Terra). Para isso, vamos usar algumas fórmulas de mecânica orbital e algumas constantes que já foram dadas, como o raio da Terra . Também vamos precisar do produto , que podemos encontrar usando a relação , onde é a aceleração da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Sabemos que:
Podemos rearranjar essa equação para encontrar :
Considerando que e :

Passo 3

Agora, vamos determinar a distância no perigeu ( ). Sabemos que o satélite está a 250 km acima da superfície da Terra, então:

Passo 4

Vamos usar a equação de vis-viva para relacionar a velocidade no perigeu com o semi-eixo maior da órbita:
Sabemos que , então podemos reescrever a equação para resolver :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora que temos o semi-eixo maior , podemos encontrar a excentricidade usando a relação entre perigeu e apogeu:
Rearranjando para :

Passo 6

Com a excentricidade conhecida, podemos encontrar a distância no apogeu :

Passo 7

Finalmente, para encontrar a altitude no apogeu , subtraímos o raio da Terra da distância no apogeu:
Convertendo para quilômetros:

Resposta

A excentricidade da órbita do satélite é aproximadamente e sua altitude no apogeu é de cerca de acima da superfície da Terra.

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