Considere o movimento de duas partículas sujeitas a uma força repulsiva do tipo inverso do quadrado (por exemplo, duas cargas positivas). Mostre que esse sistema não tem estados (quando medido com relação ao referencial do CM ) e que todos os estados , o movimento relativo segue uma hipérbole. Esboce uma órbita típica. [Sugestão: você pode seguir muito de perto as análises das Seções 8.6 e 8.7, exceto pelo fato de que você deve reverter o sinal da força; provavelmente, a maneira mais simples de fazer isso é mudando o sinal de em (8.44) e de todas as equações subsequentes (de modo que ) e então mantenha o próprio positivo. Assuma .]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partículas que se repelem com uma força que varia com o inverso do quadrado da distância entre elas, tipo como cargas positivas se repelem. O conteúdo aqui envolve mecânica clássica, especificamente o estudo de forças centrais e energia dos sistemas. Para resolver, vamos precisar entender conceitos de energia total do sistema, forças inversamente proporcionais ao quadrado da distância, e como isso afeta o movimento relativo das partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no referencial do centro de massa (CM), a energia total do sistema é a soma da energia cinética e da energia potencial. A energia potencial para uma força que varia com é dada por:
Mas como a força é repulsiva, precisamos ajustar o sinal. Segundo a sugestão do enunciado, vamos mudar o sinal de , então:
Aqui, é uma constante positiva.

Passo 3

Agora, a energia total no referencial do CM é:
Onde é a massa reduzida do sistema, é a velocidade relativa, e é a distância entre as partículas.

Passo 4

Vamos analisar os possíveis valores de :
  • Se : Isso implicaria que a energia cinética é menor que a energia potencial negativa, sugerindo um estado ligado ou restrito.
  • Se : A energia cinética domina, indicando que as partículas têm energia suficiente para se afastarem indefinidamente, resultando em trajetórias abertas, como hipérboles.

Passo 5

Mas no nosso caso, a energia potencial é:
Como , a energia potencial é sempre positiva ou zero (quando tende ao infinito). Isso significa que a energia total nunca pode ser negativa, pois a parte cinética também é sempre positiva. Portanto, deve ser maior ou igual a zero.

Passo 6

Como não há possibilidade de , o sistema não possui estados ligados no referencial do CM. Apenas para , as partículas possuem energia suficiente para se repelirem indefinidamente. Nesse caso, o movimento relativo entre elas segue uma trajetória hiperbólica.

Passo 7

Para visualizar, imagine duas partículas se afastando uma da outra seguindo uma curva em forma de hipérbole, nunca retornando ao ponto de origem. Essa é a órbita típica para em um campo de força repulsiva do tipo inverso do quadrado.

Resposta

O sistema não possui estados com no referencial do centro de massa e, para todos os estados com , o movimento relativo das partículas segue uma trajetória hiperbólica.

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