Considere o movimento de duas partículas sujeitas a uma força repulsiva do tipo inverso do quadrado (por exemplo, duas cargas positivas). Mostre que esse sistema não tem estados
(quando medido com relação ao referencial do CM ) e que todos os estados
, o movimento relativo segue uma hipérbole. Esboce uma órbita típica. [Sugestão: você pode seguir muito de perto as análises das Seções 8.6 e 8.7, exceto pelo fato de que você deve reverter o sinal da força; provavelmente, a maneira mais simples de fazer isso é mudando o sinal de
em (8.44) e de todas as equações subsequentes (de modo que
) e então mantenha o próprio
positivo. Assuma
.]
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partículas que se repelem com uma força que varia com o inverso do quadrado da distância entre elas, tipo como cargas positivas se repelem. O conteúdo aqui envolve mecânica clássica, especificamente o estudo de forças centrais e energia dos sistemas. Para resolver, vamos precisar entender conceitos de energia total do sistema, forças inversamente proporcionais ao quadrado da distância, e como isso afeta o movimento relativo das partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no referencial do centro de massa (CM), a energia total
do sistema é a soma da energia cinética e da energia potencial. A energia potencial para uma força que varia com
é dada por:
Mas como a força é repulsiva, precisamos ajustar o sinal. Segundo a sugestão do enunciado, vamos mudar o sinal de
, então:
Aqui,
é uma constante positiva.
Passo 3
Agora, a energia total
no referencial do CM é:
Onde
é a massa reduzida do sistema,
é a velocidade relativa, e
é a distância entre as partículas.
Passo 4
Vamos analisar os possíveis valores de
:
- Se
: Isso implicaria que a energia cinética é menor que a energia potencial negativa, sugerindo um estado ligado ou restrito. - Se
: A energia cinética domina, indicando que as partículas têm energia suficiente para se afastarem indefinidamente, resultando em trajetórias abertas, como hipérboles.
Passo 5
Mas no nosso caso, a energia potencial é:
Como
, a energia potencial é sempre positiva ou zero (quando
tende ao infinito). Isso significa que a energia total
nunca pode ser negativa, pois a parte cinética
também é sempre positiva. Portanto,
deve ser maior ou igual a zero.
Passo 6
Como não há possibilidade de
, o sistema não possui estados ligados no referencial do CM. Apenas para
, as partículas possuem energia suficiente para se repelirem indefinidamente. Nesse caso, o movimento relativo entre elas segue uma trajetória hiperbólica.
Passo 7
Para visualizar, imagine duas partículas se afastando uma da outra seguindo uma curva em forma de hipérbole, nunca retornando ao ponto de origem. Essa é a órbita típica para
em um campo de força repulsiva do tipo inverso do quadrado.
Resposta
O sistema não possui estados com
no referencial do centro de massa e, para todos os estados com
, o movimento relativo das partículas segue uma trajetória hiperbólica.