(b) Use a terceira lei de Kepler (8.55) para determinar o período dessa órbita em termos de á (e e ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para usar a terceira lei de Kepler para encontrar o período de uma órbita em termos de á, e . Então, primeiro, vamos entender que estamos falando sobre movimentos planetários ou satélites, e a terceira lei de Kepler nos ajuda a relacionar o período de órbita com a distância máxima da órbita.

Passo 2

A terceira lei de Kepler afirma que o quadrado do período orbital ( ) é proporcional ao cubo da distância média ( ) entre o objeto em órbita e o centro do corpo que está sendo orbitado. A fórmula geral é:
Aqui, é a constante gravitacional e é a massa do corpo central.

Passo 3

No nosso caso, o exercício menciona á, que é a distância máxima da órbita. Para órbitas elípticas, a distância média é o semi-eixo maior da elipse. Porém, se considerarmos á como a distância do ponto mais afastado, podemos relacionar com á. Para simplificar, podemos assumir que está proporcionalmente relacionado com á.

Passo 4

Vamos então rearranjar a fórmula para encontrar em termos de á:
á
Isso nos dá o período orbital diretamente em função de á, e .

Resposta

O período da órbita é dado por
á

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