(b) Use a terceira lei de Kepler (8.55) para determinar o período dessa órbita em termos de
(e
e
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para usar a terceira lei de Kepler para encontrar o período de uma órbita em termos de
,
e
. Então, primeiro, vamos entender que estamos falando sobre movimentos planetários ou satélites, e a terceira lei de Kepler nos ajuda a relacionar o período de órbita com a distância máxima da órbita.
Passo 2
A terceira lei de Kepler afirma que o quadrado do período orbital (
) é proporcional ao cubo da distância média (
) entre o objeto em órbita e o centro do corpo que está sendo orbitado. A fórmula geral é:
Aqui,
é a constante gravitacional e
é a massa do corpo central.
Passo 3
No nosso caso, o exercício menciona
, que é a distância máxima da órbita. Para órbitas elípticas, a distância média
é o semi-eixo maior da elipse. Porém, se considerarmos
como a distância do ponto mais afastado, podemos relacionar
com
. Para simplificar, podemos assumir que
está proporcionalmente relacionado com
.
Passo 4
Vamos então rearranjar a fórmula para encontrar
em termos de
:
Isso nos dá o período orbital
diretamente em função de
,
e
.
Resposta
O período da órbita é dado por