Duas partículas de massas e estão conectadas por uma mola, de massa desprezível, e comprimento natural e com constante da força . Inicialmente, está em repouso sobre a mesa e estou segurando verticalmente acima de a uma altura . No instante , projeto verticalmente para cima com velocidade inicial . Determine a posição das duas massas para qualquer instante de tempo subsequente (antes de qualquer uma das massas retornar à mesa) e descreva o movimento. [Sugestões: veja o Problema 8.2. Assuma que é bastante pequena de modo que as duas massas nunca colidem.]
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas partículas com massas e conectadas por uma mola sem massa, com comprimento natural e constante elástica . Inicialmente, a massa está descansando sobre a mesa e a massa está segurada a uma altura acima de . No instante , damos um impulso para na direção vertical para cima com uma velocidade inicial . O objetivo é determinar a posição de cada massa em qualquer instante de tempo antes que qualquer uma das massas retorne à mesa e descrever o movimento resultante. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de dinâmica de sistemas massa-mola e movimento harmônico simples.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam sobre cada massa. Para , temos a força elástica da mola para baixo e, se considerarmos a gravidade, sua força peso também atuaria para baixo. No entanto, como a mola é massless e estamos focando apenas no movimento induzido pelo impulso inicial, podemos simplificar considerando apenas a força elástica.
Para , a força elástica atua para cima, já que a mola está sendo esticada ou comprimida dependendo do movimento de .
Passo 3
Agora, vamos estabelecer as equações de movimento para cada massa. Vamos supor que as posições das massas em função do tempo sejam e , respectivamente. A diferença de posição representa a extensão ou compressão da mola em relação ao seu comprimento natural .
A força exercida pela mola pode ser escrita como:
onde é a constante elástica da mola.
Passo 4
Aplicando a segunda lei de Newton para cada massa:
Para :
Para :
Passo 5
Substituindo nas equações acima, temos:
Para :
Para :
Passo 6
Para resolver essas equações diferenciais, podemos assumir soluções harmônicas para e . Vamos considerar que ambas as massas oscilam com a mesma frequência , mas com fases diferentes.
Assumindo soluções do tipo:
Passo 7
Aplicando as condições iniciais:
No instante :
Substituindo nas soluções assumidas:
Passo 8
Agora, precisamos determinar a frequência angular do sistema massa-mola. Para isso, combinamos as equações de movimento obtidas anteriormente.
Somando as duas equações, temos:
Isso implica que a soma das acelerações ponderadas pelas massas é zero.
Subtraindo as equações, obtemos:
Essas equações podem ser resolvidas para encontrar , resultando em:
Passo 9
Finalmente, substituindo e as constantes encontradas nas soluções gerais, temos:
Resposta
As posições das massas em função do tempo são dadas por:
O movimento das massas é harmônico simples, com ambas as massas oscilando em torno de suas posições de equilíbrio com a mesma frequência angular . A massa realiza oscilações que combinam componentes de coseno e seno devido à condição inicial de deslocamento e velocidade, enquanto a massa oscila apenas com uma componente de seno, já que sua posição inicial é na origem e inicia em repouso.
Física - John R. Taylor. - Mecânica Clássica - 1ª Edição - Capítulo 8.Problemas - Ex. 8.3**