Um cilindro está a poiado sobre um plano inclinado de um ângulo
em relaçåỏ ả horizontal. Calcule o menor valor do coeficiente de atrito estático abaixo do qual o cllindro pode deslizar sobre o plano e acima do qual o cilindro rola sem deslizar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema diz que temos um cilindro apoiado num plano inclinado com um ângulo
em relação à horizontal. A gente precisa encontrar o menor valor do coeficiente de atrito estático (
) que separa duas situações:
- Se o atrito for abaixo desse valor, o cilindro desliza pelo plano.
- Se o atrito for acima desse valor, o cilindro rola sem deslizar.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre forças em planos inclinados, atrito estático e movimento de rotação. Vamos precisar entender como as forças se equilibram e como o atrito impede ou permite o deslizamento.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as forças que atuam no cilindro:
- Peso (
): Age para baixo, com módulo , onde é a massa do cilindro e é a aceleração da gravidade. - Componente do peso paralela ao plano (
): . - Componente do peso perpendicular ao plano (
): . - Força de atrito estático (
): Atua contra o movimento, impedindo o deslizamento.
Para o cilindro rolar sem deslizar, o atrito deve ser suficiente para causar a rotação necessária. Vamos usar a condição de rolagem sem deslizamento, que relaciona a aceleração linear (
) com a aceleração angular (
):
Onde
é o raio do cilindro.
Sabemos que o momento de inércia (
) de um cilindro sólido é:
Usando a segunda lei de Newton para o movimento linear e para o movimento de rotação, temos:
- Movimento linear:
- Movimento de rotação:
Simplificando a equação de rotação:
Agora, substituímos
na equação do movimento linear:
Substituindo
na expressão de
:
A força de atrito estático máxima que impede o deslizamento é dada por:
Para que o cilindro role sem deslizar, a força de atrito necessária (
) deve ser menor ou igual à força de atrito estático máxima:
Simplificando os termos:
Resposta
O menor valor do coeficiente de atrito estático para que o cilindro role sem deslizar é: