Um cilindro está a poiado sobre um plano inclinado de um ângulo em relaçåỏ ả horizontal. Calcule o menor valor do coeficiente de atrito estático abaixo do qual o cllindro pode deslizar sobre o plano e acima do qual o cilindro rola sem deslizar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema diz que temos um cilindro apoiado num plano inclinado com um ângulo em relação à horizontal. A gente precisa encontrar o menor valor do coeficiente de atrito estático ( ) que separa duas situações:
  1. Se o atrito for abaixo desse valor, o cilindro desliza pelo plano.
  2. Se o atrito for acima desse valor, o cilindro rola sem deslizar.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre forças em planos inclinados, atrito estático e movimento de rotação. Vamos precisar entender como as forças se equilibram e como o atrito impede ou permite o deslizamento.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as forças que atuam no cilindro:
  1. Peso ( ): Age para baixo, com módulo , onde é a massa do cilindro e é a aceleração da gravidade.
  2. Componente do peso paralela ao plano ( ): .
  3. Componente do peso perpendicular ao plano ( ): .
  4. Força de atrito estático ( ): Atua contra o movimento, impedindo o deslizamento.
Para o cilindro rolar sem deslizar, o atrito deve ser suficiente para causar a rotação necessária. Vamos usar a condição de rolagem sem deslizamento, que relaciona a aceleração linear ( ) com a aceleração angular ( ):
Onde é o raio do cilindro.
Sabemos que o momento de inércia ( ) de um cilindro sólido é:
Usando a segunda lei de Newton para o movimento linear e para o movimento de rotação, temos:
  1. Movimento linear:
  1. Movimento de rotação:
Simplificando a equação de rotação:
Agora, substituímos na equação do movimento linear:
Substituindo na expressão de :
A força de atrito estático máxima que impede o deslizamento é dada por:
á
Para que o cilindro role sem deslizar, a força de atrito necessária ( ) deve ser menor ou igual à força de atrito estático máxima:
Simplificando os termos:

Resposta

O menor valor do coeficiente de atrito estático para que o cilindro role sem deslizar é:

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