Considere um aro (ou anel) de massa e raio . (b) Calcule o momento de inércia em relação a un eixo situado no plano do aro e passando pelo seu centro de massa. © Calcule o momento de inércia
do aro em relação a um eixo que lhe é tangente e que está contido no plano do aro. Sugestäo: Use o teorema dos eixos perpendiculares para calcular o item (b).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um aro (ou anel) com massa e raio . Precisamos calcular o momento de inércia desse aro em duas situações diferentes usando alguns conceitos de física, como o teorema dos eixos perpendiculares e o teorema dos eixos paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. Basicamente, ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais massa estiver longe desse eixo, maior será o momento de inércia.

Passo 3

No item (b), precisamos calcular o momento de inércia em relação a um eixo que está no plano do aro e passa pelo seu centro de massa. Para isso, vamos usar o teorema dos eixos perpendiculares.
O teorema dos eixos perpendiculares diz que o momento de inércia em torno de um eixo no plano é igual à soma dos momentos de inércia em torno de dois eixos perpendiculares que se intersectam nesse ponto.

Passo 4

Sabemos que o momento de inércia de um aro em torno de um eixo que passa pelo seu centro e é perpendicular ao plano do aro é dado por:
Aqui, é o momento de inércia perpendicular, é a massa e é o raio do aro.

Passo 5

De acordo com o teorema dos eixos perpendiculares, temos:
Como o aro é simétrico, os momentos de inércia em torno dos eixos e que passam pelo centro são iguais:
Então:

Passo 6

Resolvendo para , que é o momento de inércia em relação ao eixo no plano do aro:

Passo 7

Agora, vamos para o item ©. Precisamos calcular o momento de inércia em relação a um eixo tangente ao aro e no plano dele. Para isso, vamos usar o teorema dos eixos paralelos.
O teorema dos eixos paralelos nos permite encontrar o momento de inércia em um eixo paralelo a outro já conhecido, adicionando , onde é a distância entre os eixos.

Passo 8

No caso, a distância entre o eixo central (onde já calculamos ) e o eixo tangente é igual ao raio do aro. Aplicando o teorema:
Substituindo :

Resposta

O momento de inércia do aro em relação ao eixo tangente é:

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