Considere um aro (ou anel) de massa
e raio
. (b) Calcule o momento de inércia em relação a un eixo situado no plano do aro e passando pelo seu centro de massa. © Calcule o momento de inércia
do aro em relação a um eixo que lhe é tangente e que está contido no plano do aro. Sugestäo: Use o teorema dos eixos perpendiculares para calcular o item (b).
do aro em relação a um eixo que lhe é tangente e que está contido no plano do aro. Sugestäo: Use o teorema dos eixos perpendiculares para calcular o item (b).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um aro (ou anel) com massa
e raio
. Precisamos calcular o momento de inércia desse aro em duas situações diferentes usando alguns conceitos de física, como o teorema dos eixos perpendiculares e o teorema dos eixos paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. Basicamente, ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais massa estiver longe desse eixo, maior será o momento de inércia.
Passo 3
No item (b), precisamos calcular o momento de inércia em relação a um eixo que está no plano do aro e passa pelo seu centro de massa. Para isso, vamos usar o teorema dos eixos perpendiculares.
O teorema dos eixos perpendiculares diz que o momento de inércia em torno de um eixo no plano é igual à soma dos momentos de inércia em torno de dois eixos perpendiculares que se intersectam nesse ponto.
Passo 4
Sabemos que o momento de inércia de um aro em torno de um eixo que passa pelo seu centro e é perpendicular ao plano do aro é dado por:
Aqui,
é o momento de inércia perpendicular,
é a massa e
é o raio do aro.
Passo 5
De acordo com o teorema dos eixos perpendiculares, temos:
Como o aro é simétrico, os momentos de inércia em torno dos eixos
e
que passam pelo centro são iguais:
Então:
Passo 6
Resolvendo para
, que é o momento de inércia em relação ao eixo no plano do aro:
Passo 7
Agora, vamos para o item ©. Precisamos calcular o momento de inércia em relação a um eixo tangente ao aro e no plano dele. Para isso, vamos usar o teorema dos eixos paralelos.
O teorema dos eixos paralelos nos permite encontrar o momento de inércia em um eixo paralelo a outro já conhecido, adicionando
, onde
é a distância entre os eixos.
Passo 8
No caso, a distância
entre o eixo central (onde já calculamos
) e o eixo tangente é igual ao raio
do aro. Aplicando o teorema:
Substituindo
:
Resposta
O momento de inércia do aro em relação ao eixo tangente é: