Considere um cometa que passa através de seu afélio com uma distância á do Sol. Imagine que, mantendo á fixo, de alguma forma, fazemos o momento angular cada vez menor, embora não exatamente zero; ou seja, fazemos . Use as Equações (8.48) e (8.50) para mostrar que nesse limite a excentricidade da órbita elíptica tende a 1 e que a distância de maior aproximação í tende a zero. Descreva a órbita á fixo, mas muito pequeno. Qual é o semieixo maior ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre órbitas de cometas! O enunciado fala sobre um cometa que passa pelo afélio, ou seja, o ponto mais distante do Sol na sua órbita, com uma distância fixa á. A gente vai usar as equações (8.48) e (8.50) para mostrar que, conforme o momento angular diminui e se aproxima de zero, a excentricidade da órbita se aproxima de 1 e a distância de menor aproximação í se aproxima de zero. No final, vamos descobrir qual é o semieixo maior dessa órbita com á fixo e muito pequeno. Para isso, precisamos entender os conceitos de momento angular, excentricidade e os parâmetros das órbitas elípticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a excentricidade está relacionada ao momento angular em uma órbita elíptica. A equação (8.48) provavelmente relaciona com e a distância máxima á. Vamos assumir que:
onde é a energia total da órbita e é o parâmetro gravitacional. Mas como estamos lidando com órbitas elípticas, podemos simplificar considerando que .

Passo 3

Agora, considerando que o momento angular está diminuindo e se aproximando de zero ( ), vamos analisar o efeito disso na excentricidade . Observando a fórmula, quando tende a zero, o termo também tende a zero, fazendo com que:
Ou seja, a excentricidade está se aproximando de 1, o que caracteriza uma órbita muito alongada, quase parabólica.

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece com a distância de menor aproximação í. Sabemos que:
í
onde é o semieixo maior da órbita. Como :
í
Portanto, a distância de menor aproximação está se aproximando de zero.

Passo 5

Com á fixo e se aproximando de 1, podemos relacionar o semieixo maior usando a relação entre á, e :
á
Como :
áá

Resposta

O semieixo maior da órbita é igual a á.

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