Considere uma partícula de massa reduzida orbitando em uma força central com , onde . (b) Determine o raio para o qual a partícula (com certo momento angular ) pode orbitar com raio fixo. Para quais valores de a órbita circular é estável? Os seus esboços confirmam essa condição?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de mecânica clássica envolvendo uma partícula com massa reduzida que está orbitando sob a influência de uma força central definida pela potencial . Nosso objetivo é encontrar o raio para o qual a partícula consegue manter uma órbita circular com um momento angular específico. Além disso, queremos descobrir para quais valores de essa órbita circular é estável. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de forças centrípetas, derivadas para encontrar equilíbrios e condições de estabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o momento angular e a velocidade da partícula na órbita. Sabemos que o momento angular é dado por:
Onde é a velocidade tangencial da partícula. Podemos rearranjar isso para encontrar :

Passo 3

Agora, para manter a órbita circular, a força centrípeta que mantém a partícula na trajetória deve ser igual à força derivada do potencial . A força central associada a esse potencial é a derivada negativa do potencial em relação a :
Como estamos lidando com magnitudes, podemos considerar:

Passo 4

A força centrípeta necessária para manter a partícula em uma órbita circular é:
í
Substituindo da equação do Passo 2:
í

Passo 5

Para que a partícula mantenha uma órbita circular, a força centrípeta deve ser igual à força derivada do potencial:
Vamos resolver essa equação para :

Passo 6

Agora que temos a expressão para o raio , vamos analisar a estabilidade dessa órbita. Para uma órbita ser estável, a segunda derivada do potencial efetivo em relação a deve ser positiva no ponto de equilíbrio.
Primeiro, definimos o potencial efetivo :
Vamos calcular a segunda derivada de :
Para a estabilidade, queremos que:
Substituindo da equação do Passo 5 na desigualdade e simplificando, encontramos as condições para que garantem a estabilidade da órbita. Após simplificar, percebemos que a estabilidade depende dos valores de :
  • Se e for tal que a soma dos termos seja positiva, a órbita é estável.
  • Especificamente, órbitas são estáveis para , mas a análise detalhada mostra que geralmente para , as órbitas são estáveis, dependendo também do equilíbrio entre os termos.

Resposta

O raio para o qual a partícula pode orbitar com raio fixo é dado por:
Além disso, a órbita circular é estável para valores de , conforme a análise das derivadas do potencial efetivo confirma essa condição.

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