Considere uma partícula de massa reduzida
orbitando em uma força central com
, onde
. (b) Determine o raio para o qual a partícula (com certo momento angular
) pode orbitar com raio fixo. Para quais valores de
a órbita circular é estável? Os seus esboços confirmam essa condição?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de mecânica clássica envolvendo uma partícula com massa reduzida
que está orbitando sob a influência de uma força central definida pela potencial
. Nosso objetivo é encontrar o raio
para o qual a partícula consegue manter uma órbita circular com um momento angular
específico. Além disso, queremos descobrir para quais valores de
essa órbita circular é estável. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de forças centrípetas, derivadas para encontrar equilíbrios e condições de estabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre o momento angular
e a velocidade da partícula na órbita. Sabemos que o momento angular é dado por:
Onde
é a velocidade tangencial da partícula. Podemos rearranjar isso para encontrar
:
Passo 3
Agora, para manter a órbita circular, a força centrípeta que mantém a partícula na trajetória deve ser igual à força derivada do potencial
. A força central
associada a esse potencial é a derivada negativa do potencial em relação a
:
Como estamos lidando com magnitudes, podemos considerar:
Passo 4
A força centrípeta necessária para manter a partícula em uma órbita circular é:
Substituindo
da equação do Passo 2:
Passo 5
Para que a partícula mantenha uma órbita circular, a força centrípeta deve ser igual à força derivada do potencial:
Vamos resolver essa equação para
:
Passo 6
Agora que temos a expressão para o raio
, vamos analisar a estabilidade dessa órbita. Para uma órbita ser estável, a segunda derivada do potencial efetivo em relação a
deve ser positiva no ponto de equilíbrio.
Primeiro, definimos o potencial efetivo
:
Vamos calcular a segunda derivada de
:
Para a estabilidade, queremos que:
Substituindo
da equação do Passo 5 na desigualdade e simplificando, encontramos as condições para
que garantem a estabilidade da órbita. Após simplificar, percebemos que a estabilidade depende dos valores de
:
- Se
e for tal que a soma dos termos seja positiva, a órbita é estável. - Especificamente, órbitas são estáveis para
, mas a análise detalhada mostra que geralmente para , as órbitas são estáveis, dependendo também do equilíbrio entre os termos.
Resposta
O raio
para o qual a partícula pode orbitar com raio fixo é dado por:
Além disso, a órbita circular é estável para valores de
, conforme a análise das derivadas do potencial efetivo confirma essa condição.