Duas partículas de massas iguais, , se movem sobre uma mesa horizontal, sem atrito, na vizinhança de uma força central fixa, com energia potencial . Além disso, elas interagem entre si via energia potencial , onde é a distância entre elas e e são constantes positivas. (a) Determine a Lagrangiana em termos da posição do e da posição relativa .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas partículas com massas iguais, , que se movem sem atrito numa mesa sob a influência de uma força central fixa. Cada partícula tem uma energia potencial própria dada por e . Além disso, elas interagem entre si com uma energia potencial , onde é a distância entre elas. Nosso objetivo é encontrar a Lagrangiana do sistema usando a posição do centro de massa e a posição relativa . Para isso, precisamos lembrar que a Lagrangiana é , onde é a energia cinética total e é a energia potencial total. Vamos precisar calcular as expressões para e nessas novas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as coordenadas do centro de massa e a posição relativa:
Isso nos ajuda a separar o movimento do sistema em movimento do centro de massa e movimento relativo entre as partículas.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as velocidades das partículas em termos de e . Diferenciando as equações acima em relação ao tempo, temos:
Podemos resolver essas equações para e :

Passo 4

Vamos calcular a energia cinética total . Como as massas são iguais, temos:
Substituindo e :
Expandindo os quadrados:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia potencial total . Temos as energias potenciais individuais e a energia potencial de interação:
Precisamos expressar e em termos de e . Como , podemos isolar e :
Então,
Somando e :
Então, a energia potencial total fica:

Passo 6

Finalmente, juntamos tudo para obter a Lagrangiana :
Podemos simplificar um pouco mais:

Resposta

A Lagrangiana do sistema em termos da posição do centro de massa e da posição relativa é:

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