Duas partículas de massas iguais,
, se movem sobre uma mesa horizontal, sem atrito, na vizinhança de uma força central fixa, com energia potencial
. Além disso, elas interagem entre si via energia potencial
, onde
é a distância entre elas e
e
são constantes positivas. (a) Determine a Lagrangiana em termos da posição
do
e da posição relativa
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas partículas com massas iguais,
, que se movem sem atrito numa mesa sob a influência de uma força central fixa. Cada partícula tem uma energia potencial própria dada por
e
. Além disso, elas interagem entre si com uma energia potencial
, onde
é a distância entre elas. Nosso objetivo é encontrar a Lagrangiana do sistema usando a posição do centro de massa
e a posição relativa
. Para isso, precisamos lembrar que a Lagrangiana é
, onde
é a energia cinética total e
é a energia potencial total. Vamos precisar calcular as expressões para
e
nessas novas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as coordenadas do centro de massa e a posição relativa:
Isso nos ajuda a separar o movimento do sistema em movimento do centro de massa e movimento relativo entre as partículas.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as velocidades das partículas em termos de
e
. Diferenciando as equações acima em relação ao tempo, temos:
Podemos resolver essas equações para
e
:
Passo 4
Vamos calcular a energia cinética total
. Como as massas são iguais, temos:
Substituindo
e
:
Expandindo os quadrados:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia potencial total
. Temos as energias potenciais individuais e a energia potencial de interação:
Precisamos expressar
e
em termos de
e
. Como
, podemos isolar
e
:
Então,
Somando
e
:
Então, a energia potencial total fica:
Passo 6
Finalmente, juntamos tudo para obter a Lagrangiana
:
Podemos simplificar um pouco mais:
Resposta
A Lagrangiana do sistema em termos da posição do centro de massa
e da posição relativa
é: