Se você resolveu o Problema 4.41, deparou-se com o teorema de virial para uma órbita circular de uma partícula em uma força central com
. Aqui, está uma forma mais geral do teorema que se aplica para qualquer órbita periódica de uma partícula. (b) Explique por que, se a órbita da partícula é periódica e se fizemos
suficientemente grande, podemos fazer o lado esquerdo dessa equação tão pequeno quanto desejamos. Isto é, o lado esquerdo tende a zero quando
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que está se movendo em uma órbita periódica sob a ação de uma força central cujo potencial é dado por
. O conteúdo envolvido aqui é o Teorema de Virial, que relaciona a média do trabalho realizado pelas forças em um sistema com a energia potencial. Para resolver essa questão, vamos precisar entender o conceito de órbita periódica e como o tempo afeta os termos na equação do Teorema de Virial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma órbita periódica. É um movimento repetitivo e regular da partícula ao redor do centro de força, como um planeta ao redor do Sol. Em uma órbita periódica, a posição e a velocidade da partícula se repetem após um certo período de tempo.
Passo 3
O Teorema de Virial para uma órbita periódica geral pode ser escrito da seguinte forma:
onde
é o período da órbita,
é a massa da partícula,
é a velocidade,
é a posição, e
é a força central.
Passo 4
A questão pede para analisar o comportamento do lado esquerdo dessa equação quando
tende para o infinito. Se a órbita é periódica, ao considerar um tempo muito grande, podemos pensar que estamos somando muitos períodos completos da órbita.
Passo 5
Em uma órbita periódica, as variações de
ao longo de cada período se cancelam quando somamos muitos períodos. Isso significa que a integral do lado esquerdo, dividida pelo tempo
, tende a zero à medida que
aumenta.
Passo 6
Matematicamente, isso pode ser expresso como:
Isso acontece porque, em uma órbita periódica, as contribuições positivas e negativas de
se equilibram ao longo do tempo.
Resposta
Assim, se a órbita da partícula é periódica e escolhermos um tempo
suficientemente grande, o lado esquerdo da equação do Teorema de Virial pode ser feito tão pequeno quanto quisermos, ou seja, tende a zero quando
.