Se você resolveu o Problema 4.41, deparou-se com o teorema de virial para uma órbita circular de uma partícula em uma força central com . Aqui, está uma forma mais geral do teorema que se aplica para qualquer órbita periódica de uma partícula. (b) Explique por que, se a órbita da partícula é periódica e se fizemos suficientemente grande, podemos fazer o lado esquerdo dessa equação tão pequeno quanto desejamos. Isto é, o lado esquerdo tende a zero quando .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que está se movendo em uma órbita periódica sob a ação de uma força central cujo potencial é dado por . O conteúdo envolvido aqui é o Teorema de Virial, que relaciona a média do trabalho realizado pelas forças em um sistema com a energia potencial. Para resolver essa questão, vamos precisar entender o conceito de órbita periódica e como o tempo afeta os termos na equação do Teorema de Virial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma órbita periódica. É um movimento repetitivo e regular da partícula ao redor do centro de força, como um planeta ao redor do Sol. Em uma órbita periódica, a posição e a velocidade da partícula se repetem após um certo período de tempo.

Passo 3

O Teorema de Virial para uma órbita periódica geral pode ser escrito da seguinte forma:
onde é o período da órbita, é a massa da partícula, é a velocidade, é a posição, e é a força central.

Passo 4

A questão pede para analisar o comportamento do lado esquerdo dessa equação quando tende para o infinito. Se a órbita é periódica, ao considerar um tempo muito grande, podemos pensar que estamos somando muitos períodos completos da órbita.

Passo 5

Em uma órbita periódica, as variações de ao longo de cada período se cancelam quando somamos muitos períodos. Isso significa que a integral do lado esquerdo, dividida pelo tempo , tende a zero à medida que aumenta.

Passo 6

Matematicamente, isso pode ser expresso como:
Isso acontece porque, em uma órbita periódica, as contribuições positivas e negativas de se equilibram ao longo do tempo.

Resposta

Assim, se a órbita da partícula é periódica e escolhermos um tempo suficientemente grande, o lado esquerdo da equação do Teorema de Virial pode ser feito tão pequeno quanto quisermos, ou seja, tende a zero quando .

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