Considere duas partículas interagindo através da energia potencial da lei de Hooke, , onde é a posição relativa entre elas, , e não estão sujeitas a qualquer força externa. Mostre que descreve uma elipse. Com isso, mostre que ambas as partículas se movem sobre elipses similares em torno do CM comum a ambas. [Isso é surpreendentemente estranho. Talvez o procedimento mais simples seja escolher o plano como o plano da órbita e então resolver a equação de movimento (8.15) para e . Sua solução terá a forma , com uma expressão semelhante para . Se você resolver essas equações para sen e e lembrar-se de que , pode colocar a equação orbital na forma , onde é uma constante positiva. Agora, invocando o resultado padrão que se e são positivos e , essa equação define uma elipse.]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partículas que interagem entre si através de uma força que segue a lei de Hooke, ou seja, a energia potencial é dada por , onde é a posição relativa entre elas. Não tem nenhuma força externa agindo nas partículas. Precisamos mostrar que a trajetória relativa é uma elipse e, com isso, provar que cada partícula se move em uma elipse similar ao redor do centro de massa comum. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples e geometria das elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o movimento das partículas. Como não há forças externas, o centro de massa (CM) do sistema permanece fixo. Podemos escolher o sistema de coordenadas de modo que o CM esteja na origem. Então, as posições das partículas e em relação ao CM são dadas por:
Aqui, e são as massas das partículas.

Passo 3

Vamos focar na equação de movimento para a posição relativa . A força resultante que age sobre essa posição é dada pela derivada da energia potencial:
Aplicando a segunda lei de Newton para o sistema relativo:
Onde é a massa reduzida do sistema.

Passo 4

A equação de movimento se torna então:
Onde é a frequência angular do movimento.

Passo 5

Essa é a equação diferencial de um oscilador harmônico simples multidimensional. As soluções para e (se considerarmos o movimento no plano ) são:
Onde são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Para eliminar o tempo e relacionar e diretamente, podemos usar a identidade trigonométrica . Resolvendo as equações para e , e substituindo na identidade, obtemos uma relação entre e que tem a forma:
Onde são combinações das constantes e é uma constante positiva.

Passo 7

Essa equação é a equação geral de uma conica. Para que seja uma elipse, precisamos que os coeficientes satisfaçam , e . Esses critérios garantem que a equação representa uma elipse.

Passo 8

Portanto, mostramos que a trajetória relativa descreve uma elipse. Como resultado, as posições individuais e também descrevem elipses similares em torno do centro de massa comum, já que cada uma está ligada à posição relativa por um fator de massa.

Resposta

A posição relativa das duas partículas descreve uma elipse, e cada partícula se move em elipses similares ao redor do centro de massa comum.

Exercícios de Livros Relacionados