Mostre que, no referencial do CM , o momento angular
da partícula 1 está relacionado ao momento angular total
por
e da mesma forma
. Como
é conservado, isso mostra que o mesmo é verdade para
e
separadamente no referencial do CM.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com o momento angular de duas partículas em um referencial onde o Centro de Massas (CM) está em repouso. Queremos mostrar como o momento angular de cada partícula está relacionado ao momento angular total do sistema e provar que, se o momento angular total é conservado, então os momentos angulares individuais também são conservados.
Passo 2
Vamos começar lembrando a definição de momento angular. O momento angular
de uma partícula é dado por:
onde
é o vetor posição da partícula em relação ao referencial escolhido (neste caso, o CM) e
é o momento linear da partícula.
Passo 3
No referencial do CM, a posição total do sistema ponderada pelas massas é zero:
Isso implica que:
Mas como
, podemos reescrever isso como:
onde
é o vetor posição relativo entre as duas partículas.
Passo 4
O momento linear de cada partícula é:
No referencial do CM, a soma dos momentos lineares é zero:
Passo 5
Agora, calculamos o momento angular de cada partícula em relação ao CM:
Substituindo
e
das relações anteriores:
Passo 6
Como
, podemos substituir na expressão de
:
Isso mostra que
e
são proporcionais ao momento angular total
.
Passo 7
O momento angular total do sistema é a soma dos momentos angulares das partículas:
Substituindo
e
:
O que confirma nossa relação.
Passo 8
Como
é conservado (ou seja, permanece constante ao longo do tempo), e
e
são proporcionais a
, isso implica que
e
também são conservados individualmente no referencial do CM.
Resposta
Portanto, no referencial do Centro de Massas, temos que:
E, como o momento angular total
é conservado, os momentos angulares individuais
e
também são conservados separadamente no referencial do CM.