Mostre que, no referencial do CM , o momento angular da partícula 1 está relacionado ao momento angular total por e da mesma forma . Como é conservado, isso mostra que o mesmo é verdade para e separadamente no referencial do CM.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com o momento angular de duas partículas em um referencial onde o Centro de Massas (CM) está em repouso. Queremos mostrar como o momento angular de cada partícula está relacionado ao momento angular total do sistema e provar que, se o momento angular total é conservado, então os momentos angulares individuais também são conservados.

Passo 2

Vamos começar lembrando a definição de momento angular. O momento angular de uma partícula é dado por:
onde é o vetor posição da partícula em relação ao referencial escolhido (neste caso, o CM) e é o momento linear da partícula.

Passo 3

No referencial do CM, a posição total do sistema ponderada pelas massas é zero:
Isso implica que:
Mas como , podemos reescrever isso como:
onde é o vetor posição relativo entre as duas partículas.

Passo 4

O momento linear de cada partícula é:
No referencial do CM, a soma dos momentos lineares é zero:

Passo 5

Agora, calculamos o momento angular de cada partícula em relação ao CM:
Substituindo e das relações anteriores:

Passo 6

Como , podemos substituir na expressão de :
Isso mostra que e são proporcionais ao momento angular total .

Passo 7

O momento angular total do sistema é a soma dos momentos angulares das partículas:
Substituindo e :
O que confirma nossa relação.

Passo 8

Como é conservado (ou seja, permanece constante ao longo do tempo), e e são proporcionais a , isso implica que e também são conservados individualmente no referencial do CM.

Resposta

Portanto, no referencial do Centro de Massas, temos que:
E, como o momento angular total é conservado, os momentos angulares individuais e também são conservados separadamente no referencial do CM.

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