Uma nave espacial em uma órbita circular deseja se transferir para outra órbita circular com um quarto do raio, por meio de um impulso tangencial para mover-se para uma órbita elíptica e um segundo impulso tangencial quando na outra extremidade da elipse para mover–se à órbita circular desejada. (Essa noção é similar à Figura 8.13, mas funciona na ordem reversa.) Determine os fatores de propulsão necessários e mostre que a velocidade na órbita final é duas vezes maior que a velocidade inicial.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma nave espacial que está em uma órbita circular e quer mudar para outra órbita circular que tem um quarto do raio da original. Para fazer essa mudança, ela vai usar dois impulsos tangenciais: o primeiro para mover para uma órbita elíptica e o segundo impulso para entrar na nova órbita circular. Vamos precisar usar conceitos de mecânica orbital, como velocidades em órbitas circulares e elípticas, e as mudanças de velocidade (ΔV) necessárias para essas transferências.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade na órbita circular inicial. A fórmula para a velocidade em uma órbita circular é:
onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa do corpo central (como a Terra), -
é o raio da órbita.
Vamos chamar a velocidade inicial de
e o raio inicial de
. Então:
Passo 3
Agora, a nave quer ir para uma órbita com um quarto do raio, ou seja,
. A velocidade na nova órbita circular,
, será:
Então, já vemos que a velocidade na órbita final é duas vezes a velocidade inicial.
Passo 4
Agora, vamos determinar os impulsos de propulsão necessários. Primeiro, para sair da órbita circular inicial e entrar na órbita elíptica, precisamos aumentar ou diminuir a velocidade. Nesse caso, como estamos indo para uma órbita menor, vamos precisar aumentar a velocidade para reduzir o raio.
A velocidade na órbita elíptica no ponto mais distante (apoastro), que coincide com a órbita inicial, é igual à velocidade da órbita circular inicial,
. A velocidade no ponto mais próximo (periastro), que será o raio final
, precisa ser
.
O impulso necessário para mudar da órbita circular para a elíptica é a diferença entre a velocidade na órbita elíptica no apoastro e a velocidade na órbita circular inicial:
Na verdade, para ir para uma órbita elíptica a partir da circular, precisamos ajustar a velocidade no ponto de transferência. Vamos considerar melhor.
Passo 5
Na verdade, para realizar a transferência, o primeiro impulso
deve aumentar a velocidade para entrar na órbita elíptica. A velocidade na órbita elíptica no apoastro (ponto de partida) é a mesma da órbita circular inicial:
A velocidade no periastro da órbita elíptica será
.
A energia específica da órbita elíptica é dada por:
onde
é o semieixo maior da elipse. Como estamos indo de
para
, o semieixo maior
da órbita elíptica será:
A velocidade no apoastro na órbita elíptica é igual à velocidade na órbita circular inicial:
O impulso
para mudar de circular para elíptica é:
Na verdade, a mudança ocorre no periastro, então vamos ajustar isso.
Passo 6
Desculpe pela confusão anterior. Vamos refazer a abordagem:
Para realizar a transferência, o primeiro impulso
é dado para mudar de órbita circular para uma órbita elíptica. A velocidade na órbita elíptica no apoastro (ponto mais distante) será igual à velocidade inicial da órbita circular:
A velocidade no periastro da órbita elíptica (ponto mais próximo) será igual à velocidade final da nova órbita circular:
O impulso
é a diferença entre a velocidade na órbita elíptica no apoastro e a velocidade na órbita circular inicial:
Isso indica que não há necessidade de impulso no apoastro, o que não faz sentido. Vamos ajustar novamente.
Passo 7
Vamos simplificar:
- Primeiro impulso
: para entrar na órbita elíptica, precisamos aumentar a velocidade da órbita circular inicial.
A velocidade na órbita elíptica no apoastro é igual à velocidade da órbita circular inicial:
A velocidade na órbita circular aumenta para:
No apoastro da órbita elíptica, a velocidade deve ser igual à da órbita circular inicial:
Igualando a
:
Resolvendo para
:
- Segundo impulso
: para circularizar na nova órbita, precisamos ajustar a velocidade no periastro para :
Como
e
:
Isso mostra que a velocidade final já está correta sem necessidade de segundo impulso, mas para generalidade, consideramos que o segundo impulso é necessário para ajustar precisamente a órbita.
Passo 8
Finalmente, juntando tudo, mostramos que a velocidade na órbita final é duas vezes a velocidade inicial:
Portanto, os fatores de propulsão são os ΔV necessários nos dois impulsos:
Resposta
Os fatores de propulsão necessários são
para o primeiro impulso e
para o segundo impulso. Além disso, a velocidade na órbita final é duas vezes a velocidade inicial, ou seja,
.