Considere duas partículas de massas iguais,
, ligadas uma a outra por uma mola leve (constante da força
, comprimento natural
) e livre para deslizar sobre uma mesa horizontal sem atrito. (a) Obtenha a Lagrangiana em termos das coordenadas
e
e reex-presse-a em termos do CM e posições relativas,
e
, usando coordenadas polares
para r.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de física que envolve a Lagrangiana para duas partículas com massas iguais ligadas por uma mola em uma mesa sem atrito. O conteúdo principal aqui é Mecânica Lagrangiana, que nos ajuda a descrever o movimento de sistemas físicos de maneira eficiente. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar a energia cinética e potencial do sistema nas coordenadas dadas, tanto nas posições individuais das partículas quanto no centro de massa e nas posições relativas usando coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lagrangiana. A Lagrangiana
é definida como a diferença entre a energia cinética
e a energia potencial
do sistema:
Para nosso sistema de duas partículas, precisamos calcular
e
nas coordenadas
e
.
Passo 3
Energia Cinética (
)
Como as massas são iguais (
) e a movimentação é sobre uma superfície sem atrito, a energia cinética total é a soma das energias cinéticas de cada partícula:
Aqui,
representa a velocidade de cada partícula.
Passo 4
Energia Potencial (
)
A única energia potencial no sistema vem da mola que liga as duas partículas. Se a mola tem comprimento natural
e constante elástica
, a energia potencial armazenada na mola quando esticada ou comprimida é:
Aqui,
é a distância entre as duas partículas.
Passo 5
Agora, substituímos
e
na expressão da Lagrangiana:
Essa é a Lagrangiana em termos das coordenadas
e
.
Passo 6
Agora, vamos reescrever a Lagrangiana em termos do centro de massa
e das posições relativas
.
Primeiro, definimos o centro de massa:
E a posição relativa:
Passo 7
Vamos expressar
e
em termos de
e
:
Passo 8
Agora, calculamos as velocidades:
Passo 9
Substituímos essas expressões na energia cinética:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Passo 10
A energia potencial
em termos de
permanece a mesma, já que depende apenas da distância relativa:
Passo 11
Agora, expressamos a Lagrangiana em termos de
e
:
Passo 12
Finalmente, como solicitado, usamos coordenadas polares para
. Em coordenadas polares, temos:
A energia cinética relativa na coordenada polar fica:
Resposta
A Lagrangiana do sistema, em termos do centro de massa
e das posições relativas em coordenadas polares
, é dada por: