Considere duas partículas de massas iguais, , ligadas uma a outra por uma mola leve (constante da força , comprimento natural ) e livre para deslizar sobre uma mesa horizontal sem atrito. (a) Obtenha a Lagrangiana em termos das coordenadas e e reex-presse-a em termos do CM e posições relativas, e , usando coordenadas polares para r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de física que envolve a Lagrangiana para duas partículas com massas iguais ligadas por uma mola em uma mesa sem atrito. O conteúdo principal aqui é Mecânica Lagrangiana, que nos ajuda a descrever o movimento de sistemas físicos de maneira eficiente. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar a energia cinética e potencial do sistema nas coordenadas dadas, tanto nas posições individuais das partículas quanto no centro de massa e nas posições relativas usando coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lagrangiana. A Lagrangiana é definida como a diferença entre a energia cinética e a energia potencial do sistema:
Para nosso sistema de duas partículas, precisamos calcular e nas coordenadas e .

Passo 3

Energia Cinética ( )
Como as massas são iguais ( ) e a movimentação é sobre uma superfície sem atrito, a energia cinética total é a soma das energias cinéticas de cada partícula:
Aqui, representa a velocidade de cada partícula.

Passo 4

Energia Potencial ( )
A única energia potencial no sistema vem da mola que liga as duas partículas. Se a mola tem comprimento natural e constante elástica , a energia potencial armazenada na mola quando esticada ou comprimida é:
Aqui, é a distância entre as duas partículas.

Passo 5

Agora, substituímos e na expressão da Lagrangiana:
Essa é a Lagrangiana em termos das coordenadas e .

Passo 6

Agora, vamos reescrever a Lagrangiana em termos do centro de massa e das posições relativas .
Primeiro, definimos o centro de massa:
E a posição relativa:

Passo 7

Vamos expressar e em termos de e :

Passo 8

Agora, calculamos as velocidades:

Passo 9

Substituímos essas expressões na energia cinética:
Expandindo os termos:
Simplificando:

Passo 10

A energia potencial em termos de permanece a mesma, já que depende apenas da distância relativa:

Passo 11

Agora, expressamos a Lagrangiana em termos de e :

Passo 12

Finalmente, como solicitado, usamos coordenadas polares para . Em coordenadas polares, temos:
A energia cinética relativa na coordenada polar fica:

Resposta

A Lagrangiana do sistema, em termos do centro de massa e das posições relativas em coordenadas polares , é dada por:

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