Considere uma partícula de massa reduzida
orbitando em uma força central com
, onde
. (a) Explique o que a condição
nos diz sobre a força. Esboce a energia potencial efetiva
para os
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa reduzida
orbitando sob a influência de uma força central cuja energia potencial é dada por
, onde
. O conteúdo da matéria envolve forças centrais, energia potencial e energia potencial efetiva. Para resolver, precisamos saber como relacionar a energia potencial com a força e entender o conceito de energia potencial efetiva.
Passo 2
A condição
nos dá informações sobre a natureza da força. Vamos lembrar que a força central
está relacionada à energia potencial
pela relação:
Calculando a derivada de
em relação a
, temos:
A condição
significa que o produto de
e
é positivo. Isso implica que:
- Se
e , a força será negativa, ou seja, atrativa (puxando a partícula para o centro). - Se
e , a força ainda será atrativa porque dois negativos dão positivo.
Portanto,indica que a força é atrativa.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a energia potencial efetiva,
. Quando uma partícula está em órbita, além da energia potencial
, existe uma contribuição da energia cinética rotacional devido ao movimento angular. Essa contribuição é representada pelo termo centrífugo, que é dado por:
onde
é o momento angular da partícula. A energia potencial efetiva é a soma da energia potencial original com a energia centrífuga:
Essa função nos ajuda a visualizar o comportamento da partícula na órbita, considerando tanto a força central quanto a força centrífuga.
Passo 4
Vamos esboçar a energia potencial efetiva
para os casos dados:
,
e
.
-
Para
: Aqui, temos um termo quadrático positivo e um termo inversamente proporcional ao quadrado de. O gráfico resultante mostra um mínimo, indicando uma posição estável de equilíbrio. -
Para
: Com, neste caso específico, terá uma forma que decresce para grande e cresce rápido para pequeno, sem um mínimo estável. -
Para
: Aqui, o termodomina para pequeno, tornando a energia potencial efetiva muito grande e positiva, enquanto para grande o termo centrífugo ainda domina. O gráfico também não apresenta um mínimo estável.
Resposta
A condição
indica que a força central é atrativa. Os esboços da energia potencial efetiva
mostram que, para
, há um mínimo estável, enquanto para
e
, não há pontos de equilíbrio estáveis na energia potencial efetiva.