Considere uma partícula de massa reduzida orbitando em uma força central com , onde . (a) Explique o que a condição nos diz sobre a força. Esboce a energia potencial efetiva para os .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa reduzida orbitando sob a influência de uma força central cuja energia potencial é dada por , onde . O conteúdo da matéria envolve forças centrais, energia potencial e energia potencial efetiva. Para resolver, precisamos saber como relacionar a energia potencial com a força e entender o conceito de energia potencial efetiva.

Passo 2

A condição nos dá informações sobre a natureza da força. Vamos lembrar que a força central está relacionada à energia potencial pela relação:
Calculando a derivada de em relação a , temos:
A condição significa que o produto de e é positivo. Isso implica que:
  • Se e , a força será negativa, ou seja, atrativa (puxando a partícula para o centro).
  • Se e , a força ainda será atrativa porque dois negativos dão positivo.
    Portanto, indica que a força é atrativa.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a energia potencial efetiva, . Quando uma partícula está em órbita, além da energia potencial , existe uma contribuição da energia cinética rotacional devido ao movimento angular. Essa contribuição é representada pelo termo centrífugo, que é dado por:
onde é o momento angular da partícula. A energia potencial efetiva é a soma da energia potencial original com a energia centrífuga:
Essa função nos ajuda a visualizar o comportamento da partícula na órbita, considerando tanto a força central quanto a força centrífuga.

Passo 4

Vamos esboçar a energia potencial efetiva para os casos dados: , e .
  1. Para :
    Aqui, temos um termo quadrático positivo e um termo inversamente proporcional ao quadrado de . O gráfico resultante mostra um mínimo, indicando uma posição estável de equilíbrio.
  2. Para :
    Com , neste caso específico, terá uma forma que decresce para grande e cresce rápido para pequeno, sem um mínimo estável.
  3. Para :
    Aqui, o termo domina para pequeno, tornando a energia potencial efetiva muito grande e positiva, enquanto para grande o termo centrífugo ainda domina. O gráfico também não apresenta um mínimo estável.

Resposta

A condição indica que a força central é atrativa. Os esboços da energia potencial efetiva mostram que, para , há um mínimo estável, enquanto para e , não há pontos de equilíbrio estáveis na energia potencial efetiva.

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