Considere novamente o fio ou a haste do Problema 16.27. Em geral, quando se estica o fio longitudinalmente, ele contrai nas direções transversais. A taxa de contração fracional transversa pela dilatação fracional longitudinal é chamada de razão de Poisson (em homenagem ao matemático francês e estudante de Laplace e Lagrange, 1781-1840) e é denotado pela letra grega “nu”,
. (a) Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a razão de Poisson, que é um conceito da mecânica dos sólidos. Basicamente, quando você puxa um fio ou uma haste na direção longitudinal (tipo estica ele), ele tende a encolher nas direções transversais (perpendiculares à força). A razão de Poisson, representada pela letra grega “nu” (
), relaciona essas deformações. Nosso objetivo aqui é mostrar que
, onde
é a deformação na direção do alongamento e
é a deformação transversal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são essas deformações. A deformação longitudinal (
) é a variação relativa no comprimento do material quando ele é esticado. Já a deformação transversal (
) é a variação relativa na largura ou na espessura do material nesse processo.
Matematicamente, a deformação é definida como:
onde
é a variação no comprimento e
é o comprimento original.
Passo 3
Agora, a razão de Poisson (
) é definida como a relação entre a deformação transversal e a deformação longitudinal, com um sinal negativo porque, geralmente, quando você estica algo na horizontal, ele encolhe na vertical, ou vice-versa. Portanto:
Passo 4
No nosso caso, a deformação longitudinal é
e a transversal é
. Substituindo esses valores na fórmula da razão de Poisson, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que a razão de Poisson é dada por
.