Considere novamente o fio ou a haste do Problema 16.27. Em geral, quando se estica o fio longitudinalmente, ele contrai nas direções transversais. A taxa de contração fracional transversa pela dilatação fracional longitudinal é chamada de razão de Poisson (em homenagem ao matemático francês e estudante de Laplace e Lagrange, 1781-1840) e é denotado pela letra grega “nu”, . (a) Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a razão de Poisson, que é um conceito da mecânica dos sólidos. Basicamente, quando você puxa um fio ou uma haste na direção longitudinal (tipo estica ele), ele tende a encolher nas direções transversais (perpendiculares à força). A razão de Poisson, representada pela letra grega “nu” ( ), relaciona essas deformações. Nosso objetivo aqui é mostrar que , onde é a deformação na direção do alongamento e é a deformação transversal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas deformações. A deformação longitudinal ( ) é a variação relativa no comprimento do material quando ele é esticado. Já a deformação transversal ( ) é a variação relativa na largura ou na espessura do material nesse processo.
Matematicamente, a deformação é definida como:
onde é a variação no comprimento e é o comprimento original.

Passo 3

Agora, a razão de Poisson ( ) é definida como a relação entre a deformação transversal e a deformação longitudinal, com um sinal negativo porque, geralmente, quando você estica algo na horizontal, ele encolhe na vertical, ou vice-versa. Portanto:
çãçã

Passo 4

No nosso caso, a deformação longitudinal é e a transversal é . Substituindo esses valores na fórmula da razão de Poisson, temos:

Resposta

Portanto, mostramos que a razão de Poisson é dada por .

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