Na Seção 16.1, deduzimos a equação de onda para ondas transversais em uma corda esticada. Aqui, você examinará a possibilidade de ondas longitudinais na mesma corda. Suponha que um elemento de corda, cuja posição de equilíbrio é , seja deslocado a uma pequena distância na direção para a posição . (b) Agora, considere as forças sobre uma pequena seção da corda e mostre que satisfaz a equação de onda com velocidade da onda , onde é a densidade (massa/volume) da corda.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente está trabalhando com ondas longitudinais em uma corda esticada. No enunciado, a gente tem uma corda com densidade (massa por unidade de comprimento) e quer mostrar que o deslocamento da corda satisfaz a equação de onda. Para isso, vamos precisar entender as forças que atuam em uma pequena seção da corda e usar conceitos de física das ondas.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar uma pequena seção da corda que vai de até . Quando essa seção é comprimida ou alongada, as forças na direção do comprimento da corda vão mudar. Essas forças são responsáveis por fazer a onda se propagar.

Passo 3

Vamos considerar as forças atuando nas extremidades dessa pequena seção. A força na posição é dada por e na posição é . Como a corda está sendo deslocada longitudinalmente, essas forças podem ser expressas como:
e
Aqui, representa o módulo de elasticidade da corda.

Passo 4

A força resultante que atua na seção da corda é a diferença entre e :
Esse diferença pode ser aproximada usando derivadas:

Passo 5

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para essa pequena seção de corda. A aceleração dessa seção é dada pela segunda derivada do deslocamento em relação ao tempo:
Substituindo a expressão para que encontramos:

Passo 6

Podemos simplificar eliminando de ambos os lados da equação:
Reorganizando os termos:

Passo 7

Essa é exatamente a forma da equação de onda para ondas longitudinais, onde a velocidade da onda é dada por:

Resposta

Portanto, mostramos que o deslocamento satisfaz a equação de onda com velocidade da onda .

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