Na dedução da terceira lei de Kepler (8.55), fizemos uma aproximação baseada no fato de que a massa do Sol era muito maior do que a massa do planeta. Mostre que a lei deve, na verdade, ser expressa por , portanto, que a “constante” de proporcionalidade é na verdade um pouco diferente para diferentes planetas. Sabendo que a massa do planeta mais pesado (Júpiter) é cerca de , enquanto é cerca de (e alguns planetas têm massas de várias ordens de magnitude menor do que a de Júpiter), por qual porcentagem você espera que a “constante” na terceira lei de Kepler varie dentre os vários planetas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a terceira lei de Kepler e uma aproximação que fizemos ao deduzi-la, onde consideramos que a massa do Sol ( ) era muito maior que a massa do planeta ( ). A matéria em questão é a Lei de Kepler, especificamente a terceira lei, que relaciona o período orbital de um planeta com a sua distância média em relação ao Sol. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender a fórmula correta da terceira lei de Kepler e como a massa do planeta influencia nessa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma geral da terceira lei de Kepler:
Aqui, é o período orbital, é a constante gravitacional, é a massa do Sol, é a massa do planeta, e é o semi-eixo maior da órbita.
Na dedução inicial, consideramos que é muito menor que , então . Isso simplifica a fórmula para:
Mas o exercício nos pede para mostrar que, de fato, devemos considerar , ou seja, a “constante” de proporcionalidade varia um pouco dependendo do planeta.

Passo 3

Vamos analisar o quanto a “constante” varia. A constante de proporcionalidade original é:
Com a correção, fica:
A diferença entre as duas é, portanto, o termo no denominador. Para ver a variação percentual, podemos expressar a nova constante em função da antiga:
Usando uma aproximação para quando é pequeno, temos:
Isso mostra que a constante diminui em uma proporção de .

Passo 4

Agora, vamos calcular essa variação percentual para Júpiter e outros planetas. Para Júpiter, temos:
Isso significa que, para Júpiter, a constante de Kepler seria aproximadamente 0,1% menor do que a constante simplificada que usamos inicialmente.
Para planetas com massas muito menores que a de Júpiter, essa porcentagem seria ainda menor. Por exemplo, se um planeta tem uma massa vezes a de Júpiter, a variação seria .

Resposta

A “constante” na terceira lei de Kepler varia aproximadamente 0,1 % entre os planetas, com Júpiter apresentando a maior diferença devido à sua massa comparada com a do Sol.

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