Na dedução da terceira lei de Kepler (8.55), fizemos uma aproximação baseada no fato de que a massa do Sol
era muito maior do que a massa
do planeta. Mostre que a lei deve, na verdade, ser expressa por
, portanto, que a “constante” de proporcionalidade é na verdade um pouco diferente para diferentes planetas. Sabendo que a massa do planeta mais pesado (Júpiter) é cerca de
, enquanto
é cerca de
(e alguns planetas têm massas de várias ordens de magnitude menor do que a de Júpiter), por qual porcentagem você espera que a “constante” na terceira lei de Kepler varie dentre os vários planetas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a terceira lei de Kepler e uma aproximação que fizemos ao deduzi-la, onde consideramos que a massa do Sol (
) era muito maior que a massa do planeta (
). A matéria em questão é a Lei de Kepler, especificamente a terceira lei, que relaciona o período orbital de um planeta com a sua distância média em relação ao Sol. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender a fórmula correta da terceira lei de Kepler e como a massa do planeta influencia nessa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a forma geral da terceira lei de Kepler:
Aqui,
é o período orbital,
é a constante gravitacional,
é a massa do Sol,
é a massa do planeta, e
é o semi-eixo maior da órbita.
Na dedução inicial, consideramos que
é muito menor que
, então
. Isso simplifica a fórmula para:
Mas o exercício nos pede para mostrar que, de fato, devemos considerar
, ou seja, a “constante” de proporcionalidade varia um pouco dependendo do planeta.
Passo 3
Vamos analisar o quanto a “constante” varia. A constante de proporcionalidade original é:
Com a correção, fica:
A diferença entre as duas é, portanto, o termo
no denominador. Para ver a variação percentual, podemos expressar a nova constante em função da antiga:
Usando uma aproximação para
quando
é pequeno, temos:
Isso mostra que a constante diminui em uma proporção de
.
Passo 4
Agora, vamos calcular essa variação percentual para Júpiter e outros planetas. Para Júpiter, temos:
Isso significa que, para Júpiter, a constante de Kepler seria aproximadamente 0,1% menor do que a constante simplificada que usamos inicialmente.
Para planetas com massas muito menores que a de Júpiter, essa porcentagem seria ainda menor. Por exemplo, se um planeta tem uma massa
vezes a de Júpiter, a variação seria
.
Resposta
A “constante” na terceira lei de Kepler varia aproximadamente 0,1 % entre os planetas, com Júpiter apresentando a maior diferença devido à sua massa comparada com a do Sol.