Mostre que a validade das duas primeiras leis de Kepler, para qualquer corpo orbitando o Sol, requer que a força (assumida como conservativa) do Sol sobre qualquer corpo seja central e proporcional a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que para as duas primeiras leis de Kepler funcionarem para qualquer planeta orbitando o Sol, a força que o Sol exerce sobre o planeta tem que ser central e proporcional a
. Isso envolve conhecimentos de mecânica clássica, principalmente sobre leis de movimento e forças gravitacionais. Vamos precisar entender o que são as leis de Kepler e o que significa uma força central proporcional a
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as duas primeiras leis de Kepler:
- Lei das Órbitas: Todo planeta se move em uma órbita elíptica com o Sol em um dos focos.
- Lei das Áreas: A linha que liga o Sol ao planeta varre áreas iguais em tempos iguais.
Essas leis descrevem como os planetas se movimentam ao redor do Sol. Para provar que uma força central inversamente proporcional ao quadrado da distância é responsável por essas leis, precisamos entender o que cada uma implica sobre a força em questão.
Passo 3
Uma força central é aquela que age ao longo da linha que conecta o centro de dois corpos, ou seja, perpendicular à órbita. No nosso caso, isso significa que a força que o Sol exerce sobre o planeta sempre aponta para o Sol e está alinhada com a linha que liga os dois.
Já uma força proporcional a
significa que a intensidade da força diminui com o quadrado da distância entre o Sol e o planeta. Matemáticamente, podemos expressar isso como:
onde
é uma constante positiva e
é a distância entre o Sol e o planeta. O sinal negativo indica que a força é atrativa.
Passo 4
Agora, vamos ligar essas ideias com as leis de Kepler. A segunda lei de Kepler, a Lei das Áreas, sugere que o momento angular do planeta em relação ao Sol é conservado. Isso acontece porque a força que age sobre o planeta não cria torque (ou momento angular), já que a força central atua ao longo da linha que une os dois corpos.
Matematicamente, o momento angular
é dado por:
onde
é a massa do planeta,
é a velocidade, e
é o ângulo entre os vetores posição e velocidade. Como a força é central,
, e
permanece constante, confirmando a segunda lei de Kepler.
Passo 5
Para validar a primeira lei de Kepler, que descreve órbitas elípticas, precisamos considerar que a força
fornece a aceleração centrípeta necessária para manter o planeta em órbita. Usando a segunda lei de Newton, temos:
onde
é a aceleração centrípeta:
Substituindo
na equação da força, temos:
Comparando isso com a expressão da força central
, vemos que para a órbita ser elíptica e obedecer a primeira lei de Kepler, a força deve ser inversamente proporcional ao quadrado da distância.
Passo 6
Resumindo, para que as duas primeiras leis de Kepler sejam válidas:
- Força Central: A força deve agir ao longo da linha que une o Sol e o planeta, garantindo que o momento angular seja conservado e obedecendo à segunda lei de Kepler.
- Proporcionalidade a
: A intensidade da força deve diminuir com o quadrado da distância para que a órbita seja uma elipse, conforme descrito pela primeira lei de Kepler.
Sem essas características na força, não conseguiríamos replicar as órbitas elípticas e a conservação do momento angular observadas nas leis de Kepler.
Resposta
Portanto, mostramos que para as duas primeiras leis de Kepler serem válidas para qualquer corpo orbitando o Sol, a força exercida pelo Sol deve ser central e proporcional a
.