Considere duas partículas de massas iguais, , ligadas uma a outra por uma mola leve (constante da força , comprimento natural ) e livre para deslizar sobre uma mesa horizontal sem atrito. © Obtenha as equações de Lagrange para e . Resolva essas equações para os dois casos especiais, quando permanece constante e quando permanece constante. Descreva os movimentos
correspondentes. Em particular, mostre que a frequência das oscilações no segundo caso é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas partículas de massa igual, conectadas por uma mola que pode esticar e comprimir. Elas estão em uma mesa sem atrito, o que significa que não há resistência ao movimento. Vamos usar a Mecânica de Lagrange, uma parte da física que ajuda a descrever o movimento de sistemas como esse. Para resolver, vamos precisar definir as coordenadas que descrevem a posição das partículas (nesse caso, e ), calcular as energias cinética e potencial, montar o Lagrangiano e, por fim, obter as equações de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as coordenadas generalizadas do sistema. Como as partículas estão conectadas por uma mola, podemos usar coordenadas polares. Então, representa a distância entre as partículas e o ângulo que essa linha forma em relação a um eixo de referência.

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética do sistema. Cada partícula está se movendo, então precisamos considerar a velocidade delas:
Como , simplificamos para:

Passo 4

Em seguida, calculamos a energia potencial armazenada na mola. A mola tem uma constante elástica e comprimento natural , então a energia potencial é:

Passo 5

O Lagrangiano é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:

Passo 6

Agora, aplicamos as equações de Lagrange para obter as equações de movimento. Para cada coordenada (aqui, e ), temos:
Primeiro, para :
Simplificando:
Agora, para :

Passo 7

Agora, vamos resolver essas equações para os casos especiais.
Caso 1: permanece constante
Se é constante, então e . Substituindo na equação de :
Rearranjando:
Isso mostra que, se é constante, as partículas estão girando com uma velocidade angular constante , resultando em um movimento circular uniforme.
Caso 2: permanece constante
Se é constante, então e . Substituindo na equação de :
Isso não nos dá informação adicional, então olhamos para a equação de :
Rearranjando:
Esta é uma equação diferencial harmônica simples. A solução geral tem a forma de oscilações ao redor do ponto de equilíbrio :
A frequência das oscilações é dada por:

Resposta

A frequência das oscilações quando o ângulo permanece constante é .

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