Considere duas partículas de massas iguais,
, ligadas uma a outra por uma mola leve (constante da força
, comprimento natural
) e livre para deslizar sobre uma mesa horizontal sem atrito. © Obtenha as equações de Lagrange para
e
. Resolva essas equações para os dois casos especiais, quando
permanece constante e quando
permanece constante. Descreva os movimentos
correspondentes. Em particular, mostre que a frequência das oscilações no segundo caso é
.
correspondentes. Em particular, mostre que a frequência das oscilações no segundo caso é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas partículas de massa igual, conectadas por uma mola que pode esticar e comprimir. Elas estão em uma mesa sem atrito, o que significa que não há resistência ao movimento. Vamos usar a Mecânica de Lagrange, uma parte da física que ajuda a descrever o movimento de sistemas como esse. Para resolver, vamos precisar definir as coordenadas que descrevem a posição das partículas (nesse caso,
e
), calcular as energias cinética e potencial, montar o Lagrangiano e, por fim, obter as equações de movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as coordenadas generalizadas do sistema. Como as partículas estão conectadas por uma mola, podemos usar coordenadas polares. Então,
representa a distância entre as partículas e
o ângulo que essa linha forma em relação a um eixo de referência.
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética do sistema. Cada partícula está se movendo, então precisamos considerar a velocidade delas:
Como
, simplificamos para:
Passo 4
Em seguida, calculamos a energia potencial armazenada na mola. A mola tem uma constante elástica
e comprimento natural
, então a energia potencial é:
Passo 5
O Lagrangiano
é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:
Passo 6
Agora, aplicamos as equações de Lagrange para obter as equações de movimento. Para cada coordenada
(aqui,
e
), temos:
Primeiro, para
:
Simplificando:
Agora, para
:
Passo 7
Agora, vamos resolver essas equações para os casos especiais.
Caso 1:
permanece constante
Se
é constante, então
e
. Substituindo na equação de
:
Rearranjando:
Isso mostra que, se
é constante, as partículas estão girando com uma velocidade angular constante
, resultando em um movimento circular uniforme.
Caso 2:
permanece constante
Se
é constante, então
e
. Substituindo na equação de
:
Isso não nos dá informação adicional, então olhamos para a equação de
:
Rearranjando:
Esta é uma equação diferencial harmônica simples. A solução geral tem a forma de oscilações ao redor do ponto de equilíbrio
:
A frequência
das oscilações é dada por:
Resposta
A frequência das oscilações quando o ângulo
permanece constante é
.