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Enunciado

Física - Curso de Física Básica - Mecânica Volume 1 - 5ª Edição - Herch Moysés Nussenzveig- Ed: 5º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 3

Para uma partícula em orbita circular em torno de um centro de força gravitacional, demonstre que: (a) a energia total da partícula é metade da energia potencial associada à orbita. (b) A velocidade da partícula é inversamente proporcional à raiz quadrada do raio da órbita.

Passo 1

Então, galera, a energia total da órbita é dividida em duas partes: a energia cinética do satélite se movendo e a energia potencial gravitacional da atração entre o satélite e o planeta. A energia total vai ser então:

E = m v 2 2 - G M m r

Passo 2

  1. Pra começar, se liga no seguinte: qual é a força centrípeta que atua no corpo? É a força gravitacional, né? Então ela pode ser escrita assim:

    2. m v 2 r = G M m r 2

    Agora divide os dois lados por 2:

    m v 2 2 r = G M m 2 r 2

    m v 2 2 = G M m 2 r

    Mas isso é o que a gente tinha lá em cima! Substituindo, vai ficar:

    E = G M m 2 r - G M m r

    E = - G M m 2 r  

    E = 1 2 - G M m r

    Que é exatamente o que a gente queria! Aaaah garoto!

    Passo 3

  2. Reescrevendo a força centrípeta, a gente tinha:

m v 2 r = G M m r 2

v 2 = G M R

v = G M R

v = k R

Ou seja, a velocidade é inversamente proporcional à raiz do raio!

Resposta

  1. E = 1 2 - G M m r
  2. Ou seja, a velocidade é inversamente proporcional à raiz do raio!
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