Se você resolveu o Problema 4.41, deparou-se com o teorema de virial para uma órbita circular de uma partícula em uma força central com
. Aqui, está uma forma mais geral do teorema que se aplica para qualquer órbita periódica de uma partícula. © Use este resultado para demonstrar que, se
vem de uma energia potencial
, então
, se agora
denota a média temporal sobre um intervalo de tempo muito grande.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teorema de virial em uma órbita causada por uma força central que vem de uma energia potencial da forma
. Nosso objetivo é mostrar que a energia cinética média
está relacionada com a energia potencial média
pela relação
. Para isso, vamos precisar entender o que é o teorema de virial e como aplicar ele a sistemas com forças derivadas de um potencial desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teorema de virial. Basicamente, ele relaciona as energias cinética e potencial de um sistema em equilíbrio ou em órbita periódica. A fórmula geral do teorema de virial é:
Aqui,
é a energia cinética média,
é a força, e
é a posição da partícula.
Passo 3
Sabemos que a força
vem de uma energia potencial
. A relação entre força e potencial é dada por:
Para uma força radial, isso se simplifica para:
Passo 4
Substituindo
na equação do teorema de virial, temos:
Note que o sinal negativo indica que a força é atrativa, mas como estamos lidando com magnitudes médias, podemos considerar:
Passo 5
Agora, é só resolver para
:
Isso mostra exatamente o que queríamos: a energia cinética média é
vezes a energia potencial média.
Resposta
Assim, demostramos que
quando a força vem de um potencial
.