Se você resolveu o Problema 4.41, deparou-se com o teorema de virial para uma órbita circular de uma partícula em uma força central com . Aqui, está uma forma mais geral do teorema que se aplica para qualquer órbita periódica de uma partícula. © Use este resultado para demonstrar que, se vem de uma energia potencial , então , se agora denota a média temporal sobre um intervalo de tempo muito grande.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teorema de virial em uma órbita causada por uma força central que vem de uma energia potencial da forma . Nosso objetivo é mostrar que a energia cinética média está relacionada com a energia potencial média pela relação . Para isso, vamos precisar entender o que é o teorema de virial e como aplicar ele a sistemas com forças derivadas de um potencial desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teorema de virial. Basicamente, ele relaciona as energias cinética e potencial de um sistema em equilíbrio ou em órbita periódica. A fórmula geral do teorema de virial é:
Aqui, é a energia cinética média, é a força, e é a posição da partícula.

Passo 3

Sabemos que a força vem de uma energia potencial . A relação entre força e potencial é dada por:
Para uma força radial, isso se simplifica para:

Passo 4

Substituindo na equação do teorema de virial, temos:
Note que o sinal negativo indica que a força é atrativa, mas como estamos lidando com magnitudes médias, podemos considerar:

Passo 5

Agora, é só resolver para :
Isso mostra exatamente o que queríamos: a energia cinética média é vezes a energia potencial média.

Resposta

Assim, demostramos que quando a força vem de um potencial .

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