Suponha que decidamos enviar uma nave espacial a Netuno, usando a transferência simples descrita no Exemplo 8.6. A nave começa com uma órbita circular relativa à Terra (raio 1 UA ) e é para terminar em uma órbita circular próxima a Netuno (raio de aproximadamente 30 UA). Use a terceira lei de Kepler para mostrar que a transferência levará aproximadamente 31 anos. (Na prática, podemos fazer muito melhor do que isso programando a nave para obter um impulso gravitacional quando ela passar por Júpiter.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde queremos mandar uma nave espacial da Terra para Netuno usando uma transferência simples. A Terra está numa órbita circular com raio de 1 Unidade Astronômica (UA) e Netuno está numa órbita circular com raio de cerca de 30 UA. A ideia é usar a terceira lei de Kepler pra mostrar que essa viagem vai levar aproximadamente 31 anos. Pra resolver isso, vamos precisar entender a terceira lei de Kepler e como aplicar ela nas órbitas da Terra e de Netuno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a terceira lei de Kepler. Ela diz que o quadrado do período orbital (
) de um planeta é proporcional ao cubo do raio da sua órbita (
). Em fórmula, fica assim:
Isso quer dizer que se a gente conhece o período de um planeta e o raio da sua órbita, dá pra descobrir o período de outro planeta usando essa proporção.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à Terra e a Netuno. Sabemos que a Terra está a 1 UA do Sol e leva 1 ano pra dar uma volta completa. Netuno está a 30 UA e queremos descobrir quanto tempo ele leva pra orbitar. Usando a terceira lei de Kepler:
Como
ano e
UA, a equação simplifica pra:
Passo 4
Vamos calcular
:
Então,
Agora, pra achar
, tiramos a raiz quadrada de 27.000:
Passo 5
Mas calma aí! A gente quer saber o tempo de transferência, não o período orbital completo de Netuno. Em uma transferência simples, a nave vai de 1 UA para 30 UA, o que leva metade do período da órbita da transferência. Ou seja:
Primeiro, vamos achar o período da órbita de transferência. A órbita de transferência é uma elipse com semi-eixo maior igual à média entre a Terra e Netuno:
Usando a terceira lei de Kepler novamente:
Então,
E o tempo de transferência é metade disso:
Resposta
A transferência simples da Terra para Netuno levará aproximadamente 31 anos.