Dizemos que uma matriz A, nxn, é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A .

f) Mostre que toda matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz anti-simétrica.

Passo 1

Dada a matriz A quadrada, podemos escrevê-la como:

A =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n

E a transposta de A é tal que:

A t = a 11 a 21 a 12 a 22 ⋯ ⋯ a n 1 a n 2     ⋮   ⋯ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n n

Passo 2

Do exercício 25e tiramos que A + A t é uma matriz simétrica e A - A t é anti-simétrica. Dessa forma, somando as matrizes:

A + A t + A - A t =

  a 11 + a 11 a 12 + a 21 a 21 + a 12 a 22 + a 22 ⋯ ⋯ a 1 n + a n 1 a 2 n + a n 2     ⋮                                         ⋯ ⋮ a n 1 + a 1 n a n 2 + a 2 n ⋯ a n n + a n n + a 11 - a 11 a 12 - a 21 a 21 - a 12 a 22 - a 22 ⋯ ⋯ a 1 n - a n 1 a 2 n - a n 2     ⋮                                       ⋯ ⋮ a n 1 - a 1 n a n 2 - a 2 n ⋯ a n n - a n n

A + A t + A - A t = a 11 + a 11 a 12 + a 12 a 21 + a 21 a 22 + a 22 ⋯ ⋯ a 1 n + a 1 n a 2 n + a 2 n     ⋮                                         ⋯ ⋮ a n 1 + a n 1 a n 2 + a n 2 ⋯ a n n + a n n

Passo 3

Podemos reescrever a matriz resultante como:

A + A t + A - A t = 2 a 11 2 a 12 2 a 21 2 a 22 ⋯ ⋯ 2 a 1 n 2 a 2 n     ⋮                                         ⋯ ⋮ 2 a n 1 a n 2 ⋯ 2 a n n

Que é equivalente a multiplicação da matriz A pelo escalar 2:

2 A = 2 a 11 2 a 12 2 a 21 2 a 22 ⋯ ⋯ 2 a 1 n 2 a 2 n     ⋮                                         ⋯ ⋮ 2 a n 1 a n 2 ⋯ 2 a n n

Sabendo que A é simétrica e que αA também é simétrica para todo α: o resultado da soma A + A t + A - A t é uma matriz simétrica.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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