Determinar a velocidade do som no ar usando o resultado (16.140) requer um pequeno cuidado. (Mesmo o grande Newton obteve isso errado!) O problema é decidir sobre o valor correto do módulo de compressibilidade do ar. Como as vibrações são muito rápidas, não há tempo para a transferência de calor e o ar expande e contrai adiabaticamente, de modo que constante, onde é a chamada “razão de calor específico”, para o ar. © Ponha esses resultados juntos para mostrar que a velocidade do som é . Determine a velocidade do som em e compare com o valor aceito de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a velocidade do som no ar. A questão pede para a gente mostrar que a velocidade do som é dada por e depois calcular esse valor a , comparando com o valor aceito de . Para isso, vamos precisar entender conceitos de termodinâmica, especificamente processos adiabáticos, e como eles se relacionam com a compressibilidade do ar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente. Isso significa que a relação entre a pressão e o volume é dada por , onde é a razão dos calores específicos ( para o ar).

Passo 3

A velocidade do som em um gás pode ser relacionada com a compressibilidade do meio e as propriedades termodinâmicas do gás. A fórmula geral para a velocidade do som é:
onde é a pressão e é a densidade do gás.

Passo 4

Sabemos que a pressão ideal dos gases está relacionada à temperatura e à densidade através da equa��ão de estado dos gases ideais:
onde é a constante dos gases, a temperatura em Kelvin, e a massa molar do gás.

Passo 5

Substituindo a expressão da pressão na fórmula da velocidade do som, temos:
Assim, mostramos que a velocidade do som é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a velocidade do som a . Primeiro, precisamos converter essa temperatura para Kelvin:
Sabemos que para o ar, a massa molar é aproximadamente e a constante dos gases é .

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
Primeiro, calculamos o numerador:
Dividindo pelo denominador:
Agora, tiramos a raiz quadrada:

Resposta

A velocidade do som no ar a é aproximadamente , que está bem próxima do valor aceito de .

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