Determinar a velocidade do som no ar usando o resultado (16.140) requer um pequeno cuidado. (Mesmo o grande Newton obteve isso errado!) O problema é decidir sobre o valor correto do módulo de compressibilidade do ar. Como as vibrações são muito rápidas, não há tempo para a transferência de calor e o ar expande e contrai adiabaticamente, de modo que
constante, onde
é a chamada “razão de calor específico”,
para o ar. © Ponha esses resultados juntos para mostrar que a velocidade do som é
. Determine a velocidade do som em
e compare com o valor aceito de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a velocidade do som no ar. A questão pede para a gente mostrar que a velocidade do som é dada por
e depois calcular esse valor a
, comparando com o valor aceito de
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de termodinâmica, especificamente processos adiabáticos, e como eles se relacionam com a compressibilidade do ar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente. Isso significa que a relação entre a pressão
e o volume
é dada por
, onde
é a razão dos calores específicos (
para o ar).
Passo 3
A velocidade do som
em um gás pode ser relacionada com a compressibilidade do meio e as propriedades termodinâmicas do gás. A fórmula geral para a velocidade do som é:
onde
é a pressão e
é a densidade do gás.
Passo 4
Sabemos que a pressão ideal dos gases está relacionada à temperatura e à densidade através da equa��ão de estado dos gases ideais:
onde
é a constante dos gases,
a temperatura em Kelvin, e
a massa molar do gás.
Passo 5
Substituindo a expressão da pressão
na fórmula da velocidade do som, temos:
Assim, mostramos que a velocidade do som é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a velocidade do som a
. Primeiro, precisamos converter essa temperatura para Kelvin:
Sabemos que para o ar, a massa molar
é aproximadamente
e a constante dos gases
é
.
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula:
Primeiro, calculamos o numerador:
Dividindo pelo denominador:
Agora, tiramos a raiz quadrada:
Resposta
A velocidade do som no ar a
é aproximadamente
, que está bem próxima do valor aceito de
.