Em relação à Equação (16.31), afirmei que qualquer função no intervalo pode ser expandida em uma série de Fourier contendo apenas funções seno. Isto é, à primeira vista, é muito surpreendente que usemos isto para afirmar que a série geral de Fourier requer senos cossenos. Neste problema, você irá demonstrar esta surpreendente afirmação. Seja qualquer função definida para . Podemos definir uma função para todos pondo o seu valor igual a uma dada função no intervalo original e requerendo que
para todo . Mostre que isso define uma função que é (1) periódica com período , (2) ímpar e (3) a mesma que a original no intervalo original. Obtenha a expansão ordinária de Fourier para esta nova e mostre que os coeficientes dos termos em cossenos são todos nulos. Isso estabelece a possibilidade de se expandir a função original em termos de senos apenas . Tendo em mente que o período da nova função é , obtenha a fórmula padrão (5.84) para os coeficientes da expansão e mostre que a sua resposta está de acordo com (16.33). A série de Fourier de senos é especialmente conveniente para o tratamento de funções que são zero nos pontos extremos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de Séries de Fourier, especificamente de como qualquer função definida no intervalo pode ser expandida usando apenas funções seno. Vamos precisar entender sobre funções periódicas, funções ímpares e como calcular os coeficientes de uma série de Fourier. Vamos começar definindo uma função estendida que seja periódica e ímpar, e depois ver como isso leva a uma série composta só por senos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função para todo de maneira que ela seja periódica com período e ímpar. Isso significa que:
Essas duas condições garantem que a função se repete a cada e que é simétrica em relação à origem, ou seja, é ímpar.

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que essa definição realmente cria uma função que é periódica com período . Pela condição , já garantimos a periodicidade, pois isso significa que a função se repete a cada .

Passo 4

Também precisamos mostrar que a função é ímpar. Pela condição , confirmamos que a função é ímpar, pois a simetria em relação à origem é mantida.

Passo 5

Além disso, no intervalo original , a função definida dessa forma é a mesma que a função original que nos foi dada. Ou seja, a extensão não altera nesse intervalo específico.

Passo 6

Agora, vamos obter a expansão de Fourier para essa nova função . Como a função é ímpar e periódica com período , na série geral de Fourier os coeficientes dos termos de cossenos serão zero. Isso acontece porque os cossenos são funções pares, e o produto de uma função ímpar com uma função par é ímpar, cuja integral sobre um período completo é zero.

Passo 7

Portanto, a série de Fourier para vai conter apenas termos de seno. A fórmula geral para os coeficientes da série de Fourier para funções ímpares é:
Isso confirma que apenas os termos de seno aparecem na série, pois os coeficientes dos termos de cossenos são todos nulos.

Passo 8

Assim, mostramos que qualquer função definida em pode ser expandida em uma série de Fourier contendo apenas funções seno. Essa é a expansão de Fourier de senos, que é especialmente útil para funções que são zero nos pontos extremos e .

Resposta

Portanto, concluímos que qualquer função no intervalo pode ser expandida em uma série de Fourier composta apenas por funções seno, com os coeficientes dados por:

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