Em relação à Equação (16.31), afirmei que qualquer função no intervalo
pode ser expandida em uma série de Fourier contendo apenas funções seno. Isto é, à primeira vista, é muito surpreendente que usemos isto para afirmar que a série geral de Fourier requer senos
cossenos. Neste problema, você irá demonstrar esta surpreendente afirmação. Seja
qualquer função definida para
. Podemos definir uma função
para todos
pondo o seu valor igual a uma dada função no intervalo original e requerendo que
para todo
. Mostre que isso define uma função que é (1) periódica com período
, (2) ímpar e (3) a mesma que a original
no intervalo original. Obtenha a expansão ordinária de Fourier para esta nova
e mostre que os coeficientes dos termos em cossenos são todos nulos. Isso estabelece a possibilidade de se expandir a função original em termos de senos apenas
. Tendo em mente que o período da nova função é
, obtenha a fórmula padrão (5.84) para os coeficientes da expansão e mostre que a sua resposta está de acordo com (16.33). A série de Fourier de senos é especialmente conveniente para o tratamento de funções que são zero nos pontos extremos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de Séries de Fourier, especificamente de como qualquer função definida no intervalo
pode ser expandida usando apenas funções seno. Vamos precisar entender sobre funções periódicas, funções ímpares e como calcular os coeficientes de uma série de Fourier. Vamos começar definindo uma função estendida que seja periódica e ímpar, e depois ver como isso leva a uma série composta só por senos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função
para todo
de maneira que ela seja periódica com período
e ímpar. Isso significa que:
Essas duas condições garantem que a função se repete a cada
e que é simétrica em relação à origem, ou seja,
é ímpar.
Passo 3
Agora, precisamos mostrar que essa definição realmente cria uma função que é periódica com período
. Pela condição
, já garantimos a periodicidade, pois isso significa que a função se repete a cada
.
Passo 4
Também precisamos mostrar que a função é ímpar. Pela condição
, confirmamos que a função é ímpar, pois a simetria em relação à origem é mantida.
Passo 5
Além disso, no intervalo original
, a função
definida dessa forma é a mesma que a função original que nos foi dada. Ou seja, a extensão não altera
nesse intervalo específico.
Passo 6
Agora, vamos obter a expansão de Fourier para essa nova função
. Como a função é ímpar e periódica com período
, na série geral de Fourier os coeficientes dos termos de cossenos serão zero. Isso acontece porque os cossenos são funções pares, e o produto de uma função ímpar com uma função par é ímpar, cuja integral sobre um período completo é zero.
Passo 7
Portanto, a série de Fourier para
vai conter apenas termos de seno. A fórmula geral para os coeficientes da série de Fourier para funções ímpares é:
Isso confirma que apenas os termos de seno aparecem na série, pois os coeficientes
dos termos de cossenos são todos nulos.
Passo 8
Assim, mostramos que qualquer função definida em
pode ser expandida em uma série de Fourier contendo apenas funções seno. Essa é a expansão de Fourier de senos, que é especialmente útil para funções que são zero nos pontos extremos
e
.
Resposta
Portanto, concluímos que qualquer função
no intervalo
pode ser expandida em uma série de Fourier composta apenas por funções seno, com os coeficientes dados por: