Mostre que a intensidade de uma onda sonora é proporcional ao quadrado do incremento da pressão . Para fazer isso, considere uma pequena lâmina de fluido, normal à direção de propagação, com área . Obtenha a taxa na qual esta lâmina realiza trabalho no fluido em frente a ela, em seguida divida por para mostrar que a média temporal da intensidade é .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui! O exercício quer que a gente mostre que a intensidade ( ) de uma onda sonora é proporcional ao quadrado do incremento de pressão ( ). Para isso, vamos considerar uma pequena lâmina de fluido perpendicular à direção de propagação da onda, com uma área . A ideia é calcular a taxa de trabalho que essa lâmina realiza no fluido à frente dela e, depois, relacionar isso com a intensidade média da onda. Vamos precisar entender conceitos de trabalho realizado por uma força, pressão, e a definição de intensidade de uma onda sonora.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a pressão ( ) é definida como força por unidade de área, ou seja:
onde é a força e é a área.

Passo 3

A lâmina de fluido tem uma área , então a força exercida sobre ela devido à pressão da onda sonora é:
Aqui, representa o incremento da pressão devido à onda sonora.

Passo 4

Agora, para calcular o trabalho realizado pela força quando a lâmina se move uma distância na direção da força, usamos a definição de trabalho:

Passo 5

A velocidade de propagação da onda sonora é , então a distância percorrida pela lâmina em um pequeno intervalo de tempo é:
Substituindo na equação do trabalho:

Passo 6

A potência, ou seja, a taxa de trabalho realizado por unidade de tempo, é:

Passo 7

A intensidade ( ) da onda sonora é definida como a potência por unidade de área. Então, dividimos a potência pela área :

Passo 8

No entanto, essa expressão dá a intensidade instantânea. Para obter a intensidade média temporal, precisamos considerar a média do quadrado da pressão ao longo do tempo:
Aqui, é a densidade do meio em repouso.

Resposta

A intensidade média da onda sonora é dada por:
Isso mostra que a intensidade é proporcional ao quadrado do incremento de pressão .

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