Mostre que a intensidade
de uma onda sonora é proporcional ao quadrado do incremento da pressão
. Para fazer isso, considere uma pequena lâmina de fluido, normal à direção de propagação, com área
. Obtenha a taxa na qual esta lâmina realiza trabalho no fluido em frente a ela, em seguida divida por
para mostrar que a média temporal da intensidade é
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui! O exercício quer que a gente mostre que a intensidade (
) de uma onda sonora é proporcional ao quadrado do incremento de pressão (
). Para isso, vamos considerar uma pequena lâmina de fluido perpendicular à direção de propagação da onda, com uma área
. A ideia é calcular a taxa de trabalho que essa lâmina realiza no fluido à frente dela e, depois, relacionar isso com a intensidade média da onda. Vamos precisar entender conceitos de trabalho realizado por uma força, pressão, e a definição de intensidade de uma onda sonora.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a pressão (
) é definida como força por unidade de área, ou seja:
onde
é a força e
é a área.
Passo 3
A lâmina de fluido tem uma área
, então a força exercida sobre ela devido à pressão da onda sonora é:
Aqui,
representa o incremento da pressão devido à onda sonora.
Passo 4
Agora, para calcular o trabalho realizado pela força
quando a lâmina se move uma distância
na direção da força, usamos a definição de trabalho:
Passo 5
A velocidade de propagação da onda sonora é
, então a distância percorrida pela lâmina em um pequeno intervalo de tempo
é:
Substituindo na equação do trabalho:
Passo 6
A potência, ou seja, a taxa de trabalho realizado por unidade de tempo, é:
Passo 7
A intensidade (
) da onda sonora é definida como a potência por unidade de área. Então, dividimos a potência pela área
:
Passo 8
No entanto, essa expressão dá a intensidade instantânea. Para obter a intensidade média temporal, precisamos considerar a média do quadrado da pressão ao longo do tempo:
Aqui,
é a densidade do meio em repouso.
Resposta
A intensidade média da onda sonora é dada por:
Isso mostra que a intensidade
é proporcional ao quadrado do incremento de pressão
.